১০ সেকেন্ডে গণিতের উত্তর বের করার কৌশল শিখুন (গণিতের সকল বিষয়)
(৮৫তম পর্ব)
BANGLADESH ONLINE UNIVERSITY
(BOU) এর পক্ষ থেকে সকলকে জানাই আন্তরিক শুভেচ্ছা-
Md.Izabul
Alam-M.A, C.in.Ed. Principal-BOU, (Return 3 times BCS VIVA) Ex-Principal,
Rangpur Modern Pre-Cadet and Kindergarten, Ex-Executive Director, RHASEDO NGO,
Ex-Headmaster, Velakopa Govt. Primary School, Palashbari, Gaibandha,
Ex-Instructor, Mathematics, URC, Palashbari, Gaibandha, Ex- Sub Inspector
(Detective/Intelligence-DGFI), Ex-Executive & In Charge (Verification,
Recruitment & Training School-Securex), Senior Executive & In
Charge-(Inspection Wing, Control Room, Recruitment & Training School).
Bangladesh
Online University ( যা সকল বিষয়ের সাধারণ জ্ঞানের তথ্য ভান্ডার) একটি সেবামূলক Online ভিত্তিক ফ্রি শিক্ষা প্রতিষ্ঠান, যা সকলের জন্য উন্মুক্ত। তাই উপকৃত হলে দোয়া করতে ভুলবেন না।
Md.Izabul
Alam, Principal-BOU, Gulshan-2- Dhaka, Bangladesh.
01716508708, izabulalam@gmail.com
অন্যান্য পর্ব দেখতে চাইলে এদের উপর ক্লিক করুনঃ
১। চারটি English Eassy শিখে ৮৫টি English Eassy লেখার কৌশল শিখতে এখানে ক্লিক করুন।
১০ সেকেন্ডে গণিতের উত্তর
বের করার কৌশল শিখুন (গণিতের সকল বিষয়)
সুদকষা সংক্রান্ত সমস্যা
সমাধানের শর্টকাট টেকনিক
টেকনিক-১ : যখন মূলধন, সময় এবং সুদের হার
সংক্রান্ত মান দেওয়া থাকবে তখন
সুদ বা মুনাফা = (মুলধন x সময় x সুদেরহার) / ১০০
প্রশ্ন : ৯.৫% হারে সরল সুদে ৬০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত?
সমাধান : সুদ বা মুনাফা = (৬০০ x ২ x ৯.৫) / ১০০ = ১১৪ টাকা
সুদ বা মুনাফা = (মুলধন x সময় x সুদেরহার) / ১০০
প্রশ্ন : ৯.৫% হারে সরল সুদে ৬০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত?
সমাধান : সুদ বা মুনাফা = (৬০০ x ২ x ৯.৫) / ১০০ = ১১৪ টাকা
টেকনিক-২ : যখন
সুদ, মূলধন এবং সুদের হার দেওয়া থাকে তখন
সময় = (সুদ x ১০০) / (মুলধন x সুদের হার)
প্রশ্ন : ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার মুনাফা ১০০ টাকা হবে?
সমাধান : সময় = (১০০ x ১০০) / (৫০০ x ৫) = ৪ বছর
টেকনিক-৩ : যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকে তখন
সময় = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সুদের হার x ১০০
প্রশ্ন : বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হার সুদে কোন মূলধন কত বছর পরে সুদে আসলে দ্বিগুণ হবে?
সমাধান : সময় = (২– ১) /১০ x ১০০ = ১০ বছর
টেকনিক-৪ : যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সময় উল্লেখ থাকে তখন
সুদের হার = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সময় x ১০০
প্রশ্ন : সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোন মূলধন ৮ বছরে সুদে আসলে তিনগুণ হবে?
সমাধান : সুদের হার = (৩ – ১) / ৮ x ১০০ = ২৫%
টেকনিক-৫ : যখন সুদ সময় ও মূলধন দেওয়া থাকে তখন
সুদের হার = (সুদ x ১০০) / (আসল বা মূলধন x সময়) প্রশ্ন : শতকরা বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৫ বছরের ৪০০ টাকার সুদ ১৪০ টাকা হবে?
সমাধান : সুদের হার = (১৪০ x ১০০) / (৪০০ x ৫) = ৭ টাকা
টেকনিক- ৬ : যখন দুটি আসল এবং দুটি সময়ের সুদ দেওয়া থাকে তখন
সুদের হার = (মোট সুদ x ১০০)/ {(১ম মূলধন x ১ম সময়) + (২য় মূলধন x ২য় সময়)}
প্রশ্ন : সরল হার সুদে ২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ও ৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ মোট ৩২০ টাকা হলে সুদের হার কত?
সমাধান : সুদের হার = (৩২০x ১০০)÷{(২০০ x ৫) + (৫০০ x৬) } = ৮ টাকা
টেকনিক-৭ : যখন সুদের হার, সময় এবং সুদে- মূলে উল্লেখ থাকে
মূলধন বা আসল = (১০০ x সুদআসল) ÷{১০০ + (সময় x সুদের হার)}
প্রশ্ন : বার্ষিক ৮% সরল সুদে কত টাকা ৬ বছরের সুদে- আসলে ১০৩৬ টাকা হবে?
সমাধান : মূলধন বা আসল = (১০০ x ১০৩৬) ÷{১০০ + (৬ x ৪৮)} = ৭০০ টাকা
টেকনিক-৮ : যখন সুদ, সময় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকবে
মূলধন = (সুদ x ১০০)÷(সময় x সুদের হার) প্রশ্ন : শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সুদে কত টাকার ৬ বছরের সুদ ৮৪ টাকা হবে?
সমাধান : মূলধন = (৮৪ x ১০০)÷(৬x ৪) = ৩৫০ টাকা
টেকনিক-৯ : যখন দুটি সুদের হার থাকে এবং সুদের হার ও আয় কমে যায় তখন
আসল = হ্রাসকৃত আয় x ১০০ ÷ {(১ম সুদেরহার – ২য় সুদের হার) xসময়}
প্রশ্ন : সুদের হার ৬% থেকে কমে ৪% হওয়ায় এক ব্যাক্তির বাতসরিক আয় ২০ টাকা কমে গেল। তার আসলের পরিমাণ কত?
সমাধান : আসল = ২০ x ১০০ ÷{(৬ – ৪) x১ = ১০০০ টাকা
সময় = (সুদ x ১০০) / (মুলধন x সুদের হার)
প্রশ্ন : ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার মুনাফা ১০০ টাকা হবে?
সমাধান : সময় = (১০০ x ১০০) / (৫০০ x ৫) = ৪ বছর
টেকনিক-৩ : যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকে তখন
সময় = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সুদের হার x ১০০
প্রশ্ন : বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হার সুদে কোন মূলধন কত বছর পরে সুদে আসলে দ্বিগুণ হবে?
সমাধান : সময় = (২– ১) /১০ x ১০০ = ১০ বছর
টেকনিক-৪ : যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সময় উল্লেখ থাকে তখন
সুদের হার = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সময় x ১০০
প্রশ্ন : সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোন মূলধন ৮ বছরে সুদে আসলে তিনগুণ হবে?
সমাধান : সুদের হার = (৩ – ১) / ৮ x ১০০ = ২৫%
টেকনিক-৫ : যখন সুদ সময় ও মূলধন দেওয়া থাকে তখন
সুদের হার = (সুদ x ১০০) / (আসল বা মূলধন x সময়) প্রশ্ন : শতকরা বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৫ বছরের ৪০০ টাকার সুদ ১৪০ টাকা হবে?
সমাধান : সুদের হার = (১৪০ x ১০০) / (৪০০ x ৫) = ৭ টাকা
টেকনিক- ৬ : যখন দুটি আসল এবং দুটি সময়ের সুদ দেওয়া থাকে তখন
সুদের হার = (মোট সুদ x ১০০)/ {(১ম মূলধন x ১ম সময়) + (২য় মূলধন x ২য় সময়)}
প্রশ্ন : সরল হার সুদে ২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ও ৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ মোট ৩২০ টাকা হলে সুদের হার কত?
সমাধান : সুদের হার = (৩২০x ১০০)÷{(২০০ x ৫) + (৫০০ x৬) } = ৮ টাকা
টেকনিক-৭ : যখন সুদের হার, সময় এবং সুদে- মূলে উল্লেখ থাকে
মূলধন বা আসল = (১০০ x সুদআসল) ÷{১০০ + (সময় x সুদের হার)}
প্রশ্ন : বার্ষিক ৮% সরল সুদে কত টাকা ৬ বছরের সুদে- আসলে ১০৩৬ টাকা হবে?
সমাধান : মূলধন বা আসল = (১০০ x ১০৩৬) ÷{১০০ + (৬ x ৪৮)} = ৭০০ টাকা
টেকনিক-৮ : যখন সুদ, সময় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকবে
মূলধন = (সুদ x ১০০)÷(সময় x সুদের হার) প্রশ্ন : শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সুদে কত টাকার ৬ বছরের সুদ ৮৪ টাকা হবে?
সমাধান : মূলধন = (৮৪ x ১০০)÷(৬x ৪) = ৩৫০ টাকা
টেকনিক-৯ : যখন দুটি সুদের হার থাকে এবং সুদের হার ও আয় কমে যায় তখন
আসল = হ্রাসকৃত আয় x ১০০ ÷ {(১ম সুদেরহার – ২য় সুদের হার) xসময়}
প্রশ্ন : সুদের হার ৬% থেকে কমে ৪% হওয়ায় এক ব্যাক্তির বাতসরিক আয় ২০ টাকা কমে গেল। তার আসলের পরিমাণ কত?
সমাধান : আসল = ২০ x ১০০ ÷{(৬ – ৪) x১ = ১০০০ টাকা
লাভ ক্ষতি করার শর্টকাট
টেকনিক
সূত্রঃ ১
ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ না থাকলে]
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)
সমস্যা: একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হল। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)
= (১০০ x ৫৬০) / (১০০ – ২০)
= ৭০০ টাকা
সূত্রঃ ২
বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা = (বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা / ক্রয়মূল্য) x (১০০ x বিক্রয়মূল্য / ১০০ + লাভ)
সমস্যা: টাকায় ৬ টা করে ক্রয় করে টাকায় কয়টা বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?
সমাধানঃ
বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা = (বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা / ক্রয়মূল্য) x (১০০ x বিক্রয়মূল্য / ১০০ + লাভ) = (৬ / ১) x (১০০ x ১ / ১০০ + ২০) = ৫ টি
সূত্রঃ ৩
লাভে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ + লাভের শতকরা হার)
সমস্যা: একটি ছাগল ২৭৬ টাকায় বিক্রি হওয়ায় ১৫% লাভ হয়। ছাগলটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ + লাভের শতকরা হার) = (১০০ x ২৭৬) / (১০০ + ১৫) = ২৪০ টাকা
সূত্রঃ ৪
লাভে বিক্রিত পণ্যের বিক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – বিক্রয়মূল্য = {মোট লাভ (১০০ + লাভের হার)} / লাভের হার
সমস্যা: একটি জিনিস বিক্রি করে বিক্রেতা ক্রয়মূল্যের ৩৫% লাভ করেন। মোট ২৮০ টাকা লাভ হলেজিনিসটির বিক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
বিক্রয়মূল্য = {মোট লাভ (১০০ + লাভের হার)} / লাভের হার = {২৮০ (১০০ + ৩৫)} / ৩৫ = ১০৮০ টাকা
সূত্রঃ ৫
ক্ষতিতে পণ্য বিক্রয়ের ক্ষেত্রে। [লাভের হার উল্লেখ থাকলে] পণ্য সংখ্যা = বিক্রীত পণ্যের সংখ্যা x (১০০ – ক্ষতি) / (১০০ + লাভ)
সমস্যা: টাকায় ১২ টি লেবু বিক্রয় করায় ৪% ক্ষতি হয়। ৪৪% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয়করতে হবে?
সমাধানঃ
পণ্য সংখ্যা = বিক্রীত পণ্যের সংখ্যা x (১০০ – ক্ষতি) / (১০০ + লাভ) = ১২ x (১০০ – ৪) / (১০০ + ৪৪) = ৮টি লেবু
সূত্রঃ ৬
নির্দিষ্ট সংখ্যক পণ্যের ক্রয় বিক্রয়ের ক্ষেত্রে – শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূলয় – ক্রয়মূল্য) x ১০০ / ক্রয়মূল্য
সমস্যা: ২০ টাকায় ১২ টি করে আমড়া কিনে প্রতিটি ২ টাকা করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ
শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূলয় – ক্রয়মূল্য) x ১০০ / ক্রয়মূল্য = (২৪ – ২০) x ১০০ / ২০ = ২০%
সূত্রঃ ৭
ক্ষতিতে পণ্য বিক্রয়ের ক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ না থাকলে] ক্ষতির হার = (ক্ষতি x ১০০) / (বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি)
সমস্যা: একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?
সমাধানঃ
ক্ষতির হার = (ক্ষতি x ১০০) / (বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি) = (২০ x ১০০) / (৩৮০ + ২০) = ৫%
সূত্রঃ ৮
সংখ্যাযুক্ত পণ্যের ক্রয়মূল্য বিক্রয়ের ক্ষেত্র শতকরা লাভ = (নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা – নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা ) x ১০০ / নির্দিষ্ট মূল্যেবিক্রীত সংখ্যা।
সমস্যা: ৮টি কমলার ক্রয়মূল্য ৬ টি কমলার বিক্রয়মূল্যের সমান হলে শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ
শতকরা লাভ = (নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা – নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা ) x ১০০ / নির্দিষ্ট মূল্যেবিক্রীত সংখ্যা। = (৮ -৬) x ১০০ / ৬ = ৩৩.৩৩%
সূত্রঃ ৯
ক্রয় বিক্রয়ে ক্রমিক সংখ্যার ক্ষেত্রে – ক্ষতি = ১০০ / (টাকায় যতটি বিক্রি হয়)^২
অংকঃ টাকায় ৫টি ও টাকায় ৭ টি দরে সমান সংখ্যক জামরুল কিনে টাকায় ৬ টি দরে বিক্রয় করলেশতকরা ক্ত লাভ বা ক্ষতি হবে?
সমাধানঃ
ক্ষতি = ১০০ / (টাকায় যতটি বিক্রি হয়)^২ = ১০০ / (৬)^২ = ২ ৭/৯ %
সূত্রঃ ১০
ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ থাকলে] ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির শতকরা হার + লাভের শতকরা হার)
অংকঃ একজন বিক্রেতা ১২.৫% ক্ষতিতে একটি জিনিস বিক্রি করেন। যে মূল্যে তিনি জিনিসটি বিক্রিকরলেন, তার চেয়ে ৩০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্যে তার উপর ২৫% লাভ হত। জিনিসটিরক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির শতকরা হার + লাভের শতকরা হার) = (১০০ x ৩০)/ (১২.৫ + ২৫) = ৮০ টাকা
ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ না থাকলে]
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)
সমস্যা: একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হল। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)
= (১০০ x ৫৬০) / (১০০ – ২০)
= ৭০০ টাকা
সূত্রঃ ২
বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা = (বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা / ক্রয়মূল্য) x (১০০ x বিক্রয়মূল্য / ১০০ + লাভ)
সমস্যা: টাকায় ৬ টা করে ক্রয় করে টাকায় কয়টা বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?
সমাধানঃ
বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা = (বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা / ক্রয়মূল্য) x (১০০ x বিক্রয়মূল্য / ১০০ + লাভ) = (৬ / ১) x (১০০ x ১ / ১০০ + ২০) = ৫ টি
সূত্রঃ ৩
লাভে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ + লাভের শতকরা হার)
সমস্যা: একটি ছাগল ২৭৬ টাকায় বিক্রি হওয়ায় ১৫% লাভ হয়। ছাগলটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ + লাভের শতকরা হার) = (১০০ x ২৭৬) / (১০০ + ১৫) = ২৪০ টাকা
সূত্রঃ ৪
লাভে বিক্রিত পণ্যের বিক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – বিক্রয়মূল্য = {মোট লাভ (১০০ + লাভের হার)} / লাভের হার
সমস্যা: একটি জিনিস বিক্রি করে বিক্রেতা ক্রয়মূল্যের ৩৫% লাভ করেন। মোট ২৮০ টাকা লাভ হলেজিনিসটির বিক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
বিক্রয়মূল্য = {মোট লাভ (১০০ + লাভের হার)} / লাভের হার = {২৮০ (১০০ + ৩৫)} / ৩৫ = ১০৮০ টাকা
সূত্রঃ ৫
ক্ষতিতে পণ্য বিক্রয়ের ক্ষেত্রে। [লাভের হার উল্লেখ থাকলে] পণ্য সংখ্যা = বিক্রীত পণ্যের সংখ্যা x (১০০ – ক্ষতি) / (১০০ + লাভ)
সমস্যা: টাকায় ১২ টি লেবু বিক্রয় করায় ৪% ক্ষতি হয়। ৪৪% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয়করতে হবে?
সমাধানঃ
পণ্য সংখ্যা = বিক্রীত পণ্যের সংখ্যা x (১০০ – ক্ষতি) / (১০০ + লাভ) = ১২ x (১০০ – ৪) / (১০০ + ৪৪) = ৮টি লেবু
সূত্রঃ ৬
নির্দিষ্ট সংখ্যক পণ্যের ক্রয় বিক্রয়ের ক্ষেত্রে – শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূলয় – ক্রয়মূল্য) x ১০০ / ক্রয়মূল্য
সমস্যা: ২০ টাকায় ১২ টি করে আমড়া কিনে প্রতিটি ২ টাকা করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ
শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূলয় – ক্রয়মূল্য) x ১০০ / ক্রয়মূল্য = (২৪ – ২০) x ১০০ / ২০ = ২০%
সূত্রঃ ৭
ক্ষতিতে পণ্য বিক্রয়ের ক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ না থাকলে] ক্ষতির হার = (ক্ষতি x ১০০) / (বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি)
সমস্যা: একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?
সমাধানঃ
ক্ষতির হার = (ক্ষতি x ১০০) / (বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি) = (২০ x ১০০) / (৩৮০ + ২০) = ৫%
সূত্রঃ ৮
সংখ্যাযুক্ত পণ্যের ক্রয়মূল্য বিক্রয়ের ক্ষেত্র শতকরা লাভ = (নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা – নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা ) x ১০০ / নির্দিষ্ট মূল্যেবিক্রীত সংখ্যা।
সমস্যা: ৮টি কমলার ক্রয়মূল্য ৬ টি কমলার বিক্রয়মূল্যের সমান হলে শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ
শতকরা লাভ = (নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা – নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা ) x ১০০ / নির্দিষ্ট মূল্যেবিক্রীত সংখ্যা। = (৮ -৬) x ১০০ / ৬ = ৩৩.৩৩%
সূত্রঃ ৯
ক্রয় বিক্রয়ে ক্রমিক সংখ্যার ক্ষেত্রে – ক্ষতি = ১০০ / (টাকায় যতটি বিক্রি হয়)^২
অংকঃ টাকায় ৫টি ও টাকায় ৭ টি দরে সমান সংখ্যক জামরুল কিনে টাকায় ৬ টি দরে বিক্রয় করলেশতকরা ক্ত লাভ বা ক্ষতি হবে?
সমাধানঃ
ক্ষতি = ১০০ / (টাকায় যতটি বিক্রি হয়)^২ = ১০০ / (৬)^২ = ২ ৭/৯ %
সূত্রঃ ১০
ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ থাকলে] ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির শতকরা হার + লাভের শতকরা হার)
অংকঃ একজন বিক্রেতা ১২.৫% ক্ষতিতে একটি জিনিস বিক্রি করেন। যে মূল্যে তিনি জিনিসটি বিক্রিকরলেন, তার চেয়ে ৩০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্যে তার উপর ২৫% লাভ হত। জিনিসটিরক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির শতকরা হার + লাভের শতকরা হার) = (১০০ x ৩০)/ (১২.৫ + ২৫) = ৮০ টাকা
নৌকা ও স্রোত সংক্রান্ত
শর্টকাট টেকনিক
নিয়ম-১: নৌকার
গতি স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ১০ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ২ কি.মি.। স্রোতের
বেগ কত?
Technique :::
স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ – স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /২
= (১০ – ২)/২
= ৪ কি.মি.
নিয়ম-২: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮ কি.মি.এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ৪ কি.মি. যায়। নৌকার বেগ কত?
technique ::::
নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/২
= (৮ + ৪)/২
= ৬ কি.মি.
নিয়ম-৩: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদীপথে ৪৫ কি.মি. পথ একবার যেয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?
উত্তর: স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (১০+৫) = ১৫ কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১০-৫) = ৫ কি.মি.
Technique :::
মোট সময় = [(মোট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) + (মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)]
= [(৪৫/১৫) + (৪৫/৫)]
= ৩ + ৯
= ১২ ঘন্টা
নিয়ম-৪: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘন্টায় ৫কি.মি. যায় এবং ৪ ঘন্টায় প্রথম অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় বেগ কত?
Technique :::
গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব/মোট সময়)
= (৫+৫)/(২+৪)
= ৫/৩ মাইল
নিয়ম-৫: এক ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে নৌকা বেয়ে ঘন্টায় ১০ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেলএবং ঘন্টায় ৬ কি.মি. বেগে স্রোতের প্রতিকূলে চলে যাত্রারম্ভের স্থানে ফিরে এল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
technique :::
গড় গতিবেগ =(2xy)/(xy)
= (২ x ১০ x ৬)/(১০+৬)
Technique :::
স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ – স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /২
= (১০ – ২)/২
= ৪ কি.মি.
নিয়ম-২: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮ কি.মি.এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ৪ কি.মি. যায়। নৌকার বেগ কত?
technique ::::
নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/২
= (৮ + ৪)/২
= ৬ কি.মি.
নিয়ম-৩: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদীপথে ৪৫ কি.মি. পথ একবার যেয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?
উত্তর: স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (১০+৫) = ১৫ কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১০-৫) = ৫ কি.মি.
Technique :::
মোট সময় = [(মোট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) + (মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)]
= [(৪৫/১৫) + (৪৫/৫)]
= ৩ + ৯
= ১২ ঘন্টা
নিয়ম-৪: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘন্টায় ৫কি.মি. যায় এবং ৪ ঘন্টায় প্রথম অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় বেগ কত?
Technique :::
গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব/মোট সময়)
= (৫+৫)/(২+৪)
= ৫/৩ মাইল
নিয়ম-৫: এক ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে নৌকা বেয়ে ঘন্টায় ১০ কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে গেলএবং ঘন্টায় ৬ কি.মি. বেগে স্রোতের প্রতিকূলে চলে যাত্রারম্ভের স্থানে ফিরে এল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
technique :::
গড় গতিবেগ =(2xy)/(xy)
= (২ x ১০ x ৬)/(১০+৬)
ল.সা.গু ও গ.সা.গু মনে
রাখার শর্টকাট টেকনিক
গ.সা.গু. বের করার নিয়মঃ
প্রথমত সংখ্যা গুলোর মৌলিক গুণনীয়ক গুলো লেখি । তারপর সংখ্যা গুলোর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক হবে নির্ণেয় গসাগু। যেমনঃ ২৪ ও ৪৮ এর গসাগু হলঃ ২৪=৩ x ২x ২ x ২ ৪৮= ৩ x২x২x২x২ সুতরাং, নির্ণেয় গসাগু= ৩x২x২x২=২৪
লসাগু বের করার নিয়মঃ
প্রথমত সংখ্যা গুলোর মৌলিক গুণনীয়ক গুলো লেখি। তারপর মৌলিক গুণনীয়ক গুলি হতে প্রত্যেকটি সরবোচ্চ কত বার আছে তা নিয়ে গুন ফল হল নির্ণেয় লসাগু । ২৪ ও ৩৬ এর মৌলিক গুণনীয়ক গুলো হলঃ ২৪=৩ x২x ২ x২ ৩৬=৩ x৩ x২x২x২ এখানে, ৩ সরবোচ্চ দুইবার এবং ২ সর্বোচ্চ ৩ বার আছে । অর্থাৎ নির্ণেয় লসাগু= ৩ x৩ x২x২x২ x২
ল,সা,গু ও গ, সা, গু এর নিয়ম
১. ভগ্নাংশের লসাগু = লবগুলোর লসাগু / হরগুলো গসাগু
২. ভগ্নাংশের গসাগু=লবগুলোর গসাগু/হরগুলোর লসাগু
৩. দুটি সংখ্যার গুনফল = দুটি সংখার লসাগু x গসাগু
৪. লসাগু = সংখ্যাদুটির গুনফল / গসাগু
৫. গসাগু= সংখ্যাদুটির গুনফল / লসাগু
৬. একটি সংখ্যা = (লসাগু x গসাগু) / প্রদত্ত সংখ্যা
উদাহরণ
১। দুইটি সংখ্যার যোগফল ২৫৬ এবং গ.সা.গু ৩২। এরূপ সকল সংখ্যাযুগল নির্ণয় করন। সমাধানঃ যোগফল ২৫৬ এবং গ.সা.গু ৩২।
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যাদ্বয় ৩২xএবং ৩২y
এখানে xওy সহমৌলিক।
প্রশ্নমতে, ৩২x + ৩২y = ২৫৬
বা, ৩২ (x+y) = ২৫৬
x+y =৮ [উভয় পক্ষকে ৩২ দ্বারা ভাগ করে]
x = ১, y = ৭ এবং x = ৩, y =৫ পর্যবেক্ষণ দ্বারা মান পাওয়া গেল।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ৩২x১ এবং ৩২x৭ অর্থাৎ ৩২ এবং ২২৪
অথবা, ৩২x৩= ৯৬ এবং ৩২x৫=১৬০
অতএব নির্ণেয় সংখ্যাযুগল (৩২ ও ১১৪) অথবা (৯৬ ও ১৬০)।
২। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং অন্তর ২৪। এরূপ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাযুগল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ মনেকটি, সংখ্যাদ্বয় ১২x ও ১২y যখন x,y সহমৌলিক এবং x>y
সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর ফল ১২x -১২y = ১২ (x-y)
শর্তানুসারে ১২(x-y)=২৪
x-y = =২
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাযুগল হওয়ায় x = ৩, y = ১ হবে। কারণ এর চেয়ে ছোট মান দ্বারা x-y = ২ হতে পারে না।
নির্ণেয় সংখ্যাযুগল ১২x১ = ১২, ১২x৩=৩৬।
৩। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫। একটি সংখ্যা ৬০ হলে অপর সংখ্যা কি কি হতে পারে?
সমাধানঃ গ.সা.গু ১৫ এবং একটি সংখ্যা ৬০ হলে সহমৌলিকের একটি ৬০÷১৫=৪
অপর সহমৌলিকটি k এবং k অযুগ্ম হবে। k যদি যুগ্ম বা জোড় সংখ্যা হয় তবেkও ৪ সহমৌলিক হবে না। গ.সা.গু ১৫ হলে, সংখা দুইটির একটি = গ.সা.গু x একটি সহমৌলিক = ১৫÷৪=৬০
একটি সংখ্যা ৬০ দেওয়া আছে।
সুতরাং অপর সংখ্যাটি = গ.সা.গু x অপর সহমৌলিক
= ১৫x k= ১৫ k
নির্ণের অপর সংখ্যাটি ১৫k ধরনের যেকোন সংখ্যা; যেখানে k অযুগ্ম।
৪। দুটি সংখ্যার যোগফল ৫৬ এবং ল.সা.গু. ৯৬। সংখ্যা দুটি কত?
সমাধানঃ যেকোন দুটি সংখ্যার গ.সা.গু, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ও সমষ্টির গ.সা.গু একই।
৫৬ ও ৯৬ এর গ.সা.গু ই নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু = ৮
ধরি, সংখ্যাদ্বয় ৮x ও ৮y ; x ও y সহমৌলিক।
৮x ও ৮y এর ল.সা.গু = ৮xy
শর্তমতে, ৮xy = ৯৬
বা, xy = ১২
পর্যবেক্ষন করে x = ১, y = ১২ এবং x = ৩, y = ৪ পাওয়া গেল।
কিন্তু ৮x + ৮y = ৫৬
বা, ৮ (x+y) = ৫৬
বা, x+y =
x+y = ৭ দেওয়া আছে
x = ৩, y = ৪ একমাত্র গ্রহনযোগ্য মান।
সংখ্যাদ্বয় ৮x৩ = ২৪ এবং ৮x৪=৩২।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ২৪ এবং ৩২।
৫। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু, সমষ্টি ও ল.সা.গু যথখাক্রমে ৩৬, ২৫২ ও ৪৩২। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করুন।
সমাধানঃ গ.সা.গু ৩৬, সংখ্যা দুইটির যোগফল ২৫২ এবং ল.সা.গু ৪৩২।
মনেকরি, সংখ্যা দুইটি ৩৬x ও ৩৬y এখানে x ও y সহমৌলিক।
শর্তানুসারে, ৩৬x +৩৬y = ২৫২
বা, (x+y) = = ৭
x+y = ৭
অবার ৩৬x ও ৩৬y এর ল.সা.গু ৩৬xy
শর্তানুসারে, ৩৬xy = ৪৩২
xy = ১২
পর্যবেক্ষণ দ্বারা x = ৩ এবং y = ৪ মান পাওয়া যায়। কারণ x+y = ৭
এবং xy = ১২
সুতরাং সংখ্যাদ্বয় ৩৬x৩=১০৮, ৩৬x৪=১৪৪
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ১০৮, ১৪৪।
৬। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু অন্তর ও ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ ও ২৪৪৮। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করুন (৩৩ তম )
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যা দুইটি ১২x ও ১২y, যেখানে x>y এবং x,y সহমৌলিক।
সংখ্যা দুইটির অন্তর ফল ১২x - ১২y =৬০
বা, ১২ (x-y) = ৬০
x-y = = ৫
আবার, ১২x ও ১২y এর ল.সা.গু ১২xy
শর্তানুসারেম ১২xy = ২৪৪৮
বা, xy = ২০৪
২০৪ = ১২x১৭
x,y সহমৌলিক এবং x > y হওয়ায়
x = ১৭, y = ১২ পর্যবেক্ষণ দ্বারা নির্ণীত হলো।
১৭, ১২ সংমৌলিক এবং অন্তরফল ৫।
নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি ১২ x১৭ = ১০৪
১২ x ১২ = ১৪৪।
৭। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৩০৫, ৪৬৬৫ ও ৬৯০৫ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই অবশিষ্ট থাকবে।
সমাধানঃ একই অবশিষ্ট k হলে নির্ণেয় সংখ্যা হবে (১৩০৫-k) (৪৬৬৫- k) এবং (৬৯০৫- k) এর গ.সা.গু। এই সংখ্যা তিনটির যে কোন সাধারণ উৎপাদক এদের প্রত্যেক জোড়ার অন্তরফলের ও সাধারণ উৎপাদক। এ সাধারণ উৎপাদকই অন্তরফলের গ.সা.গু।
(৪৬৬৫- k) - (১৩০৫- k) = ৪৬৬৫ - ১৩০৫ = ৩৩৬০
(৬৯০৫- k) - (৪৬৬৫- k) = ৬৯০৫ - ৪৬৬৫ = ২২৪০
(৬৯০৫- k) - (১৩০৫- k) = ৬৯০৫ - ১৩০৫ = ৫৬০০
২২৪০,৩৩৬০,৫৬০০ এর গসাগু= ১১২০
গ.সা.গু = ১১২০
অতএব নির্ণেয় সংখ্যা ১১২০।
৮। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ২১ এবং ল.সা.গু ৪৬৪১। একটি সংখ্যা ২০০ ও ৩০০ এর মধ্যবর্তী; অপরটি কত?
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যা দুইটি ২১x ও ২১y
এখানে x ও y সহমৌলিক।
২১x ও ২১y এর ল.সা.গু ২১xy
২১xy = ৪৬২১
বা, xy = = ২২১x,y সহমৌলিক হওয়ার x = ১, y = ২২১, এবং x = ১৩, y = ১৭
যেহেতু একটি সংখ্যা ২০০ ও ৩০০ এর মধ্যবর্তী সুতরাং x = ১৩, y = ১৭ গ্রহণযোগ্য।
কারণ ২১x১৩= ২৭৩ সংখ্যাটি শর্তপূরণ করে।
অপর সংখ্যা ২১x১৭ = ৩৫৭
নির্ণেয় সংখ্যা ৩৫৭।
৯। ৪০০ ও ৫০০ -এর মধ্যবর্তী কোন কোন সংখ্যাকে ১২, ১৫ ও ২০ দ্বারা ভাগ দিলে প্রতি ক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে?
সমাধানঃ ১২, ১৫, ২০ এর ল.সা.গু, = ৬০
৬০) ৪০০ ( ৬
৩৬০
_____
৪০
এখানে, ৬০-৪০ = ২০
সুতরাং, ৪০০ এর পরবর্তী ৬০ দ্বারা বিভাজ্য
সংখ্যা ৪০০ + ২০ = ৪২০
৬০) ৫০০ (৮
৪৮০
______
২০
আবার, ৫০০ এর পূর্ববর্তী ৬০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা= ৫০০-২০ = ৪৮০
অবএব, নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় = ৪২০ + ১০ = ৪৩০ এবং ৪৮০+১০ = ৪৯০।
১০। সাত অংকের বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় কর, যাকে ৫, ৭, ১২ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৩, ৫, ১০ ও ১৩ হয়।
সমাধানঃ ৫, ৭, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু=৪২০
সাত অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯৯৯
৪২০)৯৯৯৯৯৯৯(২
৮৪০
১৫৯৯
১২৬০
৩৩৯৯
৩৩৬০
৩৯৯৯
৩৭৮০
২১৯
ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৯৯৯৯৯৯৯ - ২১৯ = ৯৯৯৯৭৮০
নির্ণেয় সংখ্যা ৯৯৯৯৭৮০-২ = ৯৯৯৭৭৮।
১১। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩,৪,৫,৬ ও ৭ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে কিন্তু ১১ দ্বারা ভাগ দিলে কোন অবশিষ্ট থাকে না?
সমাধানঃ ৩,৪, ৫,৬,৭ ল.সা.গু = ৪২০
সংখ্যাটি ৪২০k + ১ হবে যা ১১ দ্বারা বিভাজ্য হবে। k - এর মান ১, ২, ৩, ৪, ৫ বসিয়ে ১১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা বের করতে হবে।
৪২০x১+১=৪২১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x২+১= ৮৪১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৩+১=৮৪১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৪+১ = ১২৬১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৫+১= ২১০১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যা = ২১০১।
১২। ১৩ দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ৩,৪,৫,৬ ও ৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১,২,৩,৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকে।
উত্তরঃ
৩-১=২
৪-২=২
৫-৩=২
৬-৪=২
৭-৫=২
বিয়োগ করলে প্রতি ক্ষেত্রেই ২ থাকে।
নির্নেয় ল.সা.গু=৪২০।
সংখ্যাটি হবে
৪২০ k -২, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য [শ = ১,২,৩....]
৪২০x১-২=৪১৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x২-২= ৮৩৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৩-২=১২৫৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৪-২ = ১৬৭৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৫-২= ২০৯৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৬-২= ২৫১৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৭-২= ২৯৩৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যা = ২৯৩৮।
১৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যাহা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৪, ৫, ৬ ও ৯ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে?
সমাধানঃ
৪, ৫, ৬ ও ৯ এর ল.সা.গু = ১৮০
১৩ দ্বারা বিভাজ্য তার শর্ত না থাকলে (১৮০+১) বা ১৮১ নির্ণেয় সংখ্যা।
এখানে সংখ্যাটি হবে ১৮০ k +১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য।
[k = ১, ২, ৩, ৪...........]
১৮০x১+১= ১৮১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x২+১= ৩৬১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৩+১= ৫৪১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৪+১= ৭২১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৫+১= ৯০১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৬+১= ১০৮১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৭+১= ১২৬১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২৬১।
১৪। দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যাকে ৫, ৭, ১২ এবং ১৫ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট যথাক্রমে ২, ৪, ৯ ও ১২ থাকবে?
সমাধানঃ
৫, ৭, ১২, ১৫
২, ৪, ৯, ১২
৩, ৩, ৩, ৩
এখানে প্রতিক্ষেত্রেই বিয়োগফল= ৩
৫, ৭, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ৪২০
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
৪২০)১০০০০০(২৩৮
৮৪০
১৬০০
১২৬০
৩৪০০
৩৩৬০
৪০
৪২০-৪০=৩৮০
ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = (১০০০০০+৩৮০)= ১০০৩৮০
নির্ণেয় সংখ্যা = ১০০৩৮০-৩= ১০০৩৭৭।
১৫। পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে সমষ্টি ২, ৪, ৬, ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধানঃ
ল.সা.গু =১২০
১২০)১০০০(৮৩
৯৬০
৪০০
৩৬০
৪০
১২০-৪০=৮০
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৮০।
১৬। কতকগুলি চারাগাছ প্রতি সারিতে ৩,৫,৬,৮,১০ ও ১২টি করে লাগাতে গিয়ে দেখা গেল যে প্রতিবারে ২টি চারা বাকী থাকে কিন্তু প্রতি সারিতে ১৯টি করে লাগাতে একটি চারা ও অবশিষ্ট থাকে না। কম পক্ষে কতগুলো চারা গাছ ছিল।
উত্তরঃ
২২৩৫
১, ১, ১, ২, ১, ১
নির্নেয় ল.সা.গু= ১২০
সংখ্যাটি হবে ১২০ + ২ যা ১৯ দ্বারা বিভাজ্য
এখানে, ১২০x১+২=১২২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x২+১৪২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৩+২= ৩৬২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৪+২= ৪৮২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৫+২= ৬০২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৬+২= ৭২২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
নির্ণেয় সংখ্যা = ৭২২।
১৭। একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৩ মিটার পিছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার গাড়ীটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
সমাধানঃ
৩ ও ৪ এর ল.সা.গু. = ৩x৪=১২
১২ মিটার পথ চলতে সম্মুখের চাকা ঘোরে (১২ ÷৩) = ৪ বার
১২ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকা ঘোরে (১২÷ ৪) = ৩ বার
সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ১ বার বেশি ঘোরে ১২ মিটার পথ চলতে।
১০০ বার বেশি ঘোরে ১২x১০০ মিটার পথ চলতে = ১২০০ বা ১.২ কিলোমিটার পথ চলতে।
নির্ণেয় পথের দূরত্ব = ১.২ কিলোমিটার।
১৮। দুইটি আয়তাকার গুদামঘরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২৮ ও ২০ মিটার এবং প্রস্থ যথাক্রমে ১৪ ও ১২ মিটার। সবচেয়ে বড় কোন আয়তনের পাথর দিয়ে ঘরের মেঝে পুরোপুরি ডেকে ফেলা যাবে?
সমাধানঃ
যেহেতু সবচেয়ে বড় আয়তনের পাথরের আকার নির্ণয় করতে হবে, সেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দ্বয়ের গ.সা.গু বের করতে হবে।
দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২৮ এবং ১৪
২৮ ও ১৪ এর গ.সা.গু = ১৪
প্রস্থ যথাক্রমে ২০ এবং ১২
২০ এবং ১২ এর গ.সা.গু = ৪
সবচেয়ে বড় আকারের পাথরের মাপ = ১৪ মিটার x ৪ মিটার।
১৯। একটি আয়তাকার হল ঘরের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার, প্রস্থ ১২ মিটার, আরেকটি আয়তাকার হল ঘরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। সবচেয়ে বড় কোন আয়তনের কাঠের টুকরা দিয়ে উভয় ঘরের মেঝে পুরোপুরি ঢেকে ফেলা যাবে, মোট কতটি কাঠের টুকরা লাগবে?
সমাধানঃ
যেহেতু সবচেয়ে বড় আকারের পাথর দিয়ে ঘরের মেঝে ঢাকতে হবে, সেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ এর গ.সা.গু বের করতে হবে।
দুইটি ঘরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩০ এবং ২০
২০ এবং ৩০ এর গ.সা.গু = ১০
ঘর দুইটির প্রস্থ যথাক্রমে ১২ এবং, ১৫।
১২ এবং ১৫ এর গ.সা.গু = ৩
সবচেয়ে বড় আয়তনের কাঠের টুকরার মাপ = ১০ মিটার x ৩ মিটার
১ম ঘরের ক্ষেত্রফল (৩০x১২)বা ৩৬০ বর্গমিটার
২য় ঘরের ক্ষেত্রফল (২০x১৫)বা ৩০০ বর্গমিটার
কাঠের টুকরার ক্ষেত্রফল (১০x৩) বা ৩০ বর্গমিটার
১ম ঘর ঢাকতে কাঠের টুকরা লাগবে (৩৬০ ÷ ৩০) বা ১২টি
২য় ঘর ঢাকতে কাঠের টুকরা লাগবে (৩০০ ÷৩০) বা ১০ টি
কাঠের টুকরার মাপ ১০ মিটার x ৩ মিটার এবং কাঠের টুকরা লাগবে ২২ টি।
২০। কোন সৈন্যদলকে ৮, ১০ বা ১২ সারিতে এবং বর্গাকারেও সাজানো যায়। সেই সৈন্যদলের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যা চার অঙ্ক বিশিষ্ট।
সমাধানঃ
৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু =১২০
সৈদ্যদেরকে বর্গাকারে সাজাতে হলে তাদের মোট সংখ্যা অবশ্যই পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে। কিন্তু ১২০ পূর্নবর্গ নয় এমনকি চার অঙ্কবিশিষ্টও নয়। ১২০ কে ২, ৫ ও ৩ এর গুনফল দিয়ে গুন করলে একটি পূর্নবর্গ সংখ্যা হবে যা চার অঙ্কবিশিষ্ট।
সংখ্যাটি = ৩৬০০
সৈন্যদলের চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্নবর্গ সংখ্যা ৩৬০০।
প্রথমত সংখ্যা গুলোর মৌলিক গুণনীয়ক গুলো লেখি । তারপর সংখ্যা গুলোর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক হবে নির্ণেয় গসাগু। যেমনঃ ২৪ ও ৪৮ এর গসাগু হলঃ ২৪=৩ x ২x ২ x ২ ৪৮= ৩ x২x২x২x২ সুতরাং, নির্ণেয় গসাগু= ৩x২x২x২=২৪
লসাগু বের করার নিয়মঃ
প্রথমত সংখ্যা গুলোর মৌলিক গুণনীয়ক গুলো লেখি। তারপর মৌলিক গুণনীয়ক গুলি হতে প্রত্যেকটি সরবোচ্চ কত বার আছে তা নিয়ে গুন ফল হল নির্ণেয় লসাগু । ২৪ ও ৩৬ এর মৌলিক গুণনীয়ক গুলো হলঃ ২৪=৩ x২x ২ x২ ৩৬=৩ x৩ x২x২x২ এখানে, ৩ সরবোচ্চ দুইবার এবং ২ সর্বোচ্চ ৩ বার আছে । অর্থাৎ নির্ণেয় লসাগু= ৩ x৩ x২x২x২ x২
ল,সা,গু ও গ, সা, গু এর নিয়ম
১. ভগ্নাংশের লসাগু = লবগুলোর লসাগু / হরগুলো গসাগু
২. ভগ্নাংশের গসাগু=লবগুলোর গসাগু/হরগুলোর লসাগু
৩. দুটি সংখ্যার গুনফল = দুটি সংখার লসাগু x গসাগু
৪. লসাগু = সংখ্যাদুটির গুনফল / গসাগু
৫. গসাগু= সংখ্যাদুটির গুনফল / লসাগু
৬. একটি সংখ্যা = (লসাগু x গসাগু) / প্রদত্ত সংখ্যা
উদাহরণ
১। দুইটি সংখ্যার যোগফল ২৫৬ এবং গ.সা.গু ৩২। এরূপ সকল সংখ্যাযুগল নির্ণয় করন। সমাধানঃ যোগফল ২৫৬ এবং গ.সা.গু ৩২।
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যাদ্বয় ৩২xএবং ৩২y
এখানে xওy সহমৌলিক।
প্রশ্নমতে, ৩২x + ৩২y = ২৫৬
বা, ৩২ (x+y) = ২৫৬
x+y =৮ [উভয় পক্ষকে ৩২ দ্বারা ভাগ করে]
x = ১, y = ৭ এবং x = ৩, y =৫ পর্যবেক্ষণ দ্বারা মান পাওয়া গেল।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ৩২x১ এবং ৩২x৭ অর্থাৎ ৩২ এবং ২২৪
অথবা, ৩২x৩= ৯৬ এবং ৩২x৫=১৬০
অতএব নির্ণেয় সংখ্যাযুগল (৩২ ও ১১৪) অথবা (৯৬ ও ১৬০)।
২। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং অন্তর ২৪। এরূপ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাযুগল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ মনেকটি, সংখ্যাদ্বয় ১২x ও ১২y যখন x,y সহমৌলিক এবং x>y
সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর ফল ১২x -১২y = ১২ (x-y)
শর্তানুসারে ১২(x-y)=২৪
x-y = =২
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাযুগল হওয়ায় x = ৩, y = ১ হবে। কারণ এর চেয়ে ছোট মান দ্বারা x-y = ২ হতে পারে না।
নির্ণেয় সংখ্যাযুগল ১২x১ = ১২, ১২x৩=৩৬।
৩। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫। একটি সংখ্যা ৬০ হলে অপর সংখ্যা কি কি হতে পারে?
সমাধানঃ গ.সা.গু ১৫ এবং একটি সংখ্যা ৬০ হলে সহমৌলিকের একটি ৬০÷১৫=৪
অপর সহমৌলিকটি k এবং k অযুগ্ম হবে। k যদি যুগ্ম বা জোড় সংখ্যা হয় তবেkও ৪ সহমৌলিক হবে না। গ.সা.গু ১৫ হলে, সংখা দুইটির একটি = গ.সা.গু x একটি সহমৌলিক = ১৫÷৪=৬০
একটি সংখ্যা ৬০ দেওয়া আছে।
সুতরাং অপর সংখ্যাটি = গ.সা.গু x অপর সহমৌলিক
= ১৫x k= ১৫ k
নির্ণের অপর সংখ্যাটি ১৫k ধরনের যেকোন সংখ্যা; যেখানে k অযুগ্ম।
৪। দুটি সংখ্যার যোগফল ৫৬ এবং ল.সা.গু. ৯৬। সংখ্যা দুটি কত?
সমাধানঃ যেকোন দুটি সংখ্যার গ.সা.গু, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ও সমষ্টির গ.সা.গু একই।
৫৬ ও ৯৬ এর গ.সা.গু ই নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু = ৮
ধরি, সংখ্যাদ্বয় ৮x ও ৮y ; x ও y সহমৌলিক।
৮x ও ৮y এর ল.সা.গু = ৮xy
শর্তমতে, ৮xy = ৯৬
বা, xy = ১২
পর্যবেক্ষন করে x = ১, y = ১২ এবং x = ৩, y = ৪ পাওয়া গেল।
কিন্তু ৮x + ৮y = ৫৬
বা, ৮ (x+y) = ৫৬
বা, x+y =
x+y = ৭ দেওয়া আছে
x = ৩, y = ৪ একমাত্র গ্রহনযোগ্য মান।
সংখ্যাদ্বয় ৮x৩ = ২৪ এবং ৮x৪=৩২।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ২৪ এবং ৩২।
৫। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু, সমষ্টি ও ল.সা.গু যথখাক্রমে ৩৬, ২৫২ ও ৪৩২। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করুন।
সমাধানঃ গ.সা.গু ৩৬, সংখ্যা দুইটির যোগফল ২৫২ এবং ল.সা.গু ৪৩২।
মনেকরি, সংখ্যা দুইটি ৩৬x ও ৩৬y এখানে x ও y সহমৌলিক।
শর্তানুসারে, ৩৬x +৩৬y = ২৫২
বা, (x+y) = = ৭
x+y = ৭
অবার ৩৬x ও ৩৬y এর ল.সা.গু ৩৬xy
শর্তানুসারে, ৩৬xy = ৪৩২
xy = ১২
পর্যবেক্ষণ দ্বারা x = ৩ এবং y = ৪ মান পাওয়া যায়। কারণ x+y = ৭
এবং xy = ১২
সুতরাং সংখ্যাদ্বয় ৩৬x৩=১০৮, ৩৬x৪=১৪৪
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ১০৮, ১৪৪।
৬। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু অন্তর ও ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ ও ২৪৪৮। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করুন (৩৩ তম )
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যা দুইটি ১২x ও ১২y, যেখানে x>y এবং x,y সহমৌলিক।
সংখ্যা দুইটির অন্তর ফল ১২x - ১২y =৬০
বা, ১২ (x-y) = ৬০
x-y = = ৫
আবার, ১২x ও ১২y এর ল.সা.গু ১২xy
শর্তানুসারেম ১২xy = ২৪৪৮
বা, xy = ২০৪
২০৪ = ১২x১৭
x,y সহমৌলিক এবং x > y হওয়ায়
x = ১৭, y = ১২ পর্যবেক্ষণ দ্বারা নির্ণীত হলো।
১৭, ১২ সংমৌলিক এবং অন্তরফল ৫।
নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি ১২ x১৭ = ১০৪
১২ x ১২ = ১৪৪।
৭। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৩০৫, ৪৬৬৫ ও ৬৯০৫ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই অবশিষ্ট থাকবে।
সমাধানঃ একই অবশিষ্ট k হলে নির্ণেয় সংখ্যা হবে (১৩০৫-k) (৪৬৬৫- k) এবং (৬৯০৫- k) এর গ.সা.গু। এই সংখ্যা তিনটির যে কোন সাধারণ উৎপাদক এদের প্রত্যেক জোড়ার অন্তরফলের ও সাধারণ উৎপাদক। এ সাধারণ উৎপাদকই অন্তরফলের গ.সা.গু।
(৪৬৬৫- k) - (১৩০৫- k) = ৪৬৬৫ - ১৩০৫ = ৩৩৬০
(৬৯০৫- k) - (৪৬৬৫- k) = ৬৯০৫ - ৪৬৬৫ = ২২৪০
(৬৯০৫- k) - (১৩০৫- k) = ৬৯০৫ - ১৩০৫ = ৫৬০০
২২৪০,৩৩৬০,৫৬০০ এর গসাগু= ১১২০
গ.সা.গু = ১১২০
অতএব নির্ণেয় সংখ্যা ১১২০।
৮। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ২১ এবং ল.সা.গু ৪৬৪১। একটি সংখ্যা ২০০ ও ৩০০ এর মধ্যবর্তী; অপরটি কত?
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যা দুইটি ২১x ও ২১y
এখানে x ও y সহমৌলিক।
২১x ও ২১y এর ল.সা.গু ২১xy
২১xy = ৪৬২১
বা, xy = = ২২১x,y সহমৌলিক হওয়ার x = ১, y = ২২১, এবং x = ১৩, y = ১৭
যেহেতু একটি সংখ্যা ২০০ ও ৩০০ এর মধ্যবর্তী সুতরাং x = ১৩, y = ১৭ গ্রহণযোগ্য।
কারণ ২১x১৩= ২৭৩ সংখ্যাটি শর্তপূরণ করে।
অপর সংখ্যা ২১x১৭ = ৩৫৭
নির্ণেয় সংখ্যা ৩৫৭।
৯। ৪০০ ও ৫০০ -এর মধ্যবর্তী কোন কোন সংখ্যাকে ১২, ১৫ ও ২০ দ্বারা ভাগ দিলে প্রতি ক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে?
সমাধানঃ ১২, ১৫, ২০ এর ল.সা.গু, = ৬০
৬০) ৪০০ ( ৬
৩৬০
_____
৪০
এখানে, ৬০-৪০ = ২০
সুতরাং, ৪০০ এর পরবর্তী ৬০ দ্বারা বিভাজ্য
সংখ্যা ৪০০ + ২০ = ৪২০
৬০) ৫০০ (৮
৪৮০
______
২০
আবার, ৫০০ এর পূর্ববর্তী ৬০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা= ৫০০-২০ = ৪৮০
অবএব, নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় = ৪২০ + ১০ = ৪৩০ এবং ৪৮০+১০ = ৪৯০।
১০। সাত অংকের বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় কর, যাকে ৫, ৭, ১২ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৩, ৫, ১০ ও ১৩ হয়।
সমাধানঃ ৫, ৭, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু=৪২০
সাত অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯৯৯
৪২০)৯৯৯৯৯৯৯(২
৮৪০
১৫৯৯
১২৬০
৩৩৯৯
৩৩৬০
৩৯৯৯
৩৭৮০
২১৯
ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৯৯৯৯৯৯৯ - ২১৯ = ৯৯৯৯৭৮০
নির্ণেয় সংখ্যা ৯৯৯৯৭৮০-২ = ৯৯৯৭৭৮।
১১। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩,৪,৫,৬ ও ৭ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে কিন্তু ১১ দ্বারা ভাগ দিলে কোন অবশিষ্ট থাকে না?
সমাধানঃ ৩,৪, ৫,৬,৭ ল.সা.গু = ৪২০
সংখ্যাটি ৪২০k + ১ হবে যা ১১ দ্বারা বিভাজ্য হবে। k - এর মান ১, ২, ৩, ৪, ৫ বসিয়ে ১১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা বের করতে হবে।
৪২০x১+১=৪২১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x২+১= ৮৪১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৩+১=৮৪১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৪+১ = ১২৬১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৫+১= ২১০১, ১১ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যা = ২১০১।
১২। ১৩ দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ৩,৪,৫,৬ ও ৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১,২,৩,৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকে।
উত্তরঃ
৩-১=২
৪-২=২
৫-৩=২
৬-৪=২
৭-৫=২
বিয়োগ করলে প্রতি ক্ষেত্রেই ২ থাকে।
নির্নেয় ল.সা.গু=৪২০।
সংখ্যাটি হবে
৪২০ k -২, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য [শ = ১,২,৩....]
৪২০x১-২=৪১৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x২-২= ৮৩৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৩-২=১২৫৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৪-২ = ১৬৭৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৫-২= ২০৯৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৬-২= ২৫১৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৭-২= ২৯৩৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যা = ২৯৩৮।
১৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যাহা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৪, ৫, ৬ ও ৯ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে?
সমাধানঃ
৪, ৫, ৬ ও ৯ এর ল.সা.গু = ১৮০
১৩ দ্বারা বিভাজ্য তার শর্ত না থাকলে (১৮০+১) বা ১৮১ নির্ণেয় সংখ্যা।
এখানে সংখ্যাটি হবে ১৮০ k +১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য।
[k = ১, ২, ৩, ৪...........]
১৮০x১+১= ১৮১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x২+১= ৩৬১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৩+১= ৫৪১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৪+১= ৭২১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৫+১= ৯০১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৬+১= ১০৮১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৭+১= ১২৬১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২৬১।
১৪। দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যাকে ৫, ৭, ১২ এবং ১৫ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট যথাক্রমে ২, ৪, ৯ ও ১২ থাকবে?
সমাধানঃ
৫, ৭, ১২, ১৫
২, ৪, ৯, ১২
৩, ৩, ৩, ৩
এখানে প্রতিক্ষেত্রেই বিয়োগফল= ৩
৫, ৭, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ৪২০
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
৪২০)১০০০০০(২৩৮
৮৪০
১৬০০
১২৬০
৩৪০০
৩৩৬০
৪০
৪২০-৪০=৩৮০
ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = (১০০০০০+৩৮০)= ১০০৩৮০
নির্ণেয় সংখ্যা = ১০০৩৮০-৩= ১০০৩৭৭।
১৫। পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে সমষ্টি ২, ৪, ৬, ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধানঃ
ল.সা.গু =১২০
১২০)১০০০(৮৩
৯৬০
৪০০
৩৬০
৪০
১২০-৪০=৮০
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৮০।
১৬। কতকগুলি চারাগাছ প্রতি সারিতে ৩,৫,৬,৮,১০ ও ১২টি করে লাগাতে গিয়ে দেখা গেল যে প্রতিবারে ২টি চারা বাকী থাকে কিন্তু প্রতি সারিতে ১৯টি করে লাগাতে একটি চারা ও অবশিষ্ট থাকে না। কম পক্ষে কতগুলো চারা গাছ ছিল।
উত্তরঃ
২২৩৫
১, ১, ১, ২, ১, ১
নির্নেয় ল.সা.গু= ১২০
সংখ্যাটি হবে ১২০ + ২ যা ১৯ দ্বারা বিভাজ্য
এখানে, ১২০x১+২=১২২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x২+১৪২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৩+২= ৩৬২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৪+২= ৪৮২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৫+২= ৬০২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৬+২= ৭২২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
নির্ণেয় সংখ্যা = ৭২২।
১৭। একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৩ মিটার পিছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার গাড়ীটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
সমাধানঃ
৩ ও ৪ এর ল.সা.গু. = ৩x৪=১২
১২ মিটার পথ চলতে সম্মুখের চাকা ঘোরে (১২ ÷৩) = ৪ বার
১২ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকা ঘোরে (১২÷ ৪) = ৩ বার
সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ১ বার বেশি ঘোরে ১২ মিটার পথ চলতে।
১০০ বার বেশি ঘোরে ১২x১০০ মিটার পথ চলতে = ১২০০ বা ১.২ কিলোমিটার পথ চলতে।
নির্ণেয় পথের দূরত্ব = ১.২ কিলোমিটার।
১৮। দুইটি আয়তাকার গুদামঘরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২৮ ও ২০ মিটার এবং প্রস্থ যথাক্রমে ১৪ ও ১২ মিটার। সবচেয়ে বড় কোন আয়তনের পাথর দিয়ে ঘরের মেঝে পুরোপুরি ডেকে ফেলা যাবে?
সমাধানঃ
যেহেতু সবচেয়ে বড় আয়তনের পাথরের আকার নির্ণয় করতে হবে, সেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দ্বয়ের গ.সা.গু বের করতে হবে।
দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২৮ এবং ১৪
২৮ ও ১৪ এর গ.সা.গু = ১৪
প্রস্থ যথাক্রমে ২০ এবং ১২
২০ এবং ১২ এর গ.সা.গু = ৪
সবচেয়ে বড় আকারের পাথরের মাপ = ১৪ মিটার x ৪ মিটার।
১৯। একটি আয়তাকার হল ঘরের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার, প্রস্থ ১২ মিটার, আরেকটি আয়তাকার হল ঘরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। সবচেয়ে বড় কোন আয়তনের কাঠের টুকরা দিয়ে উভয় ঘরের মেঝে পুরোপুরি ঢেকে ফেলা যাবে, মোট কতটি কাঠের টুকরা লাগবে?
সমাধানঃ
যেহেতু সবচেয়ে বড় আকারের পাথর দিয়ে ঘরের মেঝে ঢাকতে হবে, সেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ এর গ.সা.গু বের করতে হবে।
দুইটি ঘরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩০ এবং ২০
২০ এবং ৩০ এর গ.সা.গু = ১০
ঘর দুইটির প্রস্থ যথাক্রমে ১২ এবং, ১৫।
১২ এবং ১৫ এর গ.সা.গু = ৩
সবচেয়ে বড় আয়তনের কাঠের টুকরার মাপ = ১০ মিটার x ৩ মিটার
১ম ঘরের ক্ষেত্রফল (৩০x১২)বা ৩৬০ বর্গমিটার
২য় ঘরের ক্ষেত্রফল (২০x১৫)বা ৩০০ বর্গমিটার
কাঠের টুকরার ক্ষেত্রফল (১০x৩) বা ৩০ বর্গমিটার
১ম ঘর ঢাকতে কাঠের টুকরা লাগবে (৩৬০ ÷ ৩০) বা ১২টি
২য় ঘর ঢাকতে কাঠের টুকরা লাগবে (৩০০ ÷৩০) বা ১০ টি
কাঠের টুকরার মাপ ১০ মিটার x ৩ মিটার এবং কাঠের টুকরা লাগবে ২২ টি।
২০। কোন সৈন্যদলকে ৮, ১০ বা ১২ সারিতে এবং বর্গাকারেও সাজানো যায়। সেই সৈন্যদলের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যা চার অঙ্ক বিশিষ্ট।
সমাধানঃ
৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু =১২০
সৈদ্যদেরকে বর্গাকারে সাজাতে হলে তাদের মোট সংখ্যা অবশ্যই পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে। কিন্তু ১২০ পূর্নবর্গ নয় এমনকি চার অঙ্কবিশিষ্টও নয়। ১২০ কে ২, ৫ ও ৩ এর গুনফল দিয়ে গুন করলে একটি পূর্নবর্গ সংখ্যা হবে যা চার অঙ্কবিশিষ্ট।
সংখ্যাটি = ৩৬০০
সৈন্যদলের চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্নবর্গ সংখ্যা ৩৬০০।
ঘড়ি
সংক্রান্ত
সাম্প্রতিক প্রায়
বিভিন্ন চাকুরির পরিক্ষায় এধরনের একটি প্রশ্ন থাকে যে, `ঘড়িতে যদি এতটা বাজে তাহলে
ঘড়ির কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি?'
এধরনের প্রশ্নের সমাধান করার আগে একবার ঘড়ির কথা ভাবুন। পুরো ঘড়িটা একটা বৃত্তের মতো। তাহলে একটা বৃত্ত হলো ৪ টি সমকোণের সমান অর্থাৎ ৪ সমকোণ বা ৩৬০°।
এবার ভাবুন মোট সংখ্যা থাকে ১২ টা। তাহলে প্রতি ঘন্টার জন্য কোণ হবে (৩৬০°÷১২)=৩০°।
কোণের মান বের করার ক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে যে, কখনোই কোনের মান ১৮০° এর বেশি হবে না অথবা ব্যবধান ৬ এর বেশি হবে না। এবার কিছু প্রশ্ন দেখা যাক।
প্রশ্ন ১: ঘড়িতে যখন চারটা বাজে, ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার কোণটি কত ডিগ্রি..?-উত্তর: ১২০°।
ব্যাখ্যা : যখন চারটা বাজে তখন ঘন্টার কাঁটাটি ৪ টায় এবং মিনিটের কাঁটাটি ১২ টায় থাকবে। ফলে দুটো কাটার ব্যবধান হবে ৪। আগেই বের করেছি যে প্রতি ঘন্টার জন্য কোণের মান হবে ৩০°, তাই ৪ এর জন্য কোণের মান হবে (৩০°×৪)=১২০°।
প্রশ্ন ২: ঘড়িতে যখন আটটা বাজে, ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার কোণটি কত ডিগ্রি?-উত্তর: ১২০°।
ব্যাখ্যা : যখন ঘড়িতে আটটা বাজে তখন ঘন্টার কাঁটাটি ৮ টায় এবং মিনিটের কাঁটাটি ১২ টায় থাকবে। ফলে দুটো কাটার ব্যবধান হবে ৪। কেউ হয়ত ১২ থেকে ৮ টটা পর্যন্ত গুনে বলতে পারেন ব্যবধান ৮, কিন্তু এটা করা যাবে না কেননা তখন কোণটি ১৮০° এর চেয়ে বড় হয়ে যাবে, আগেই বলেছি কোণের মান ১৮০° চেয়ে বেশি হতে পারবে না, এজন্য ব্যবধান কখনোই ৬ এর বেশি হবে না। তাই ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত ব্যবধান ৪ হবে। আগেই বের করেছি যে প্রতি ঘন্টার জন্য কোণের মান হবে ৩০°, তাই ৪ এর জন্য কোণের মান হবে (৩০°×৪)=১২০°।
প্রশ্ন ৩: যখন ঘড়িতে সারে এগারোটা বাজে, ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার কোণটি কত ডিগ্রি?-উত্তর: ১৬৫°।
এধরনের প্রশ্নের সমাধান করার আগে একবার ঘড়ির কথা ভাবুন। পুরো ঘড়িটা একটা বৃত্তের মতো। তাহলে একটা বৃত্ত হলো ৪ টি সমকোণের সমান অর্থাৎ ৪ সমকোণ বা ৩৬০°।
এবার ভাবুন মোট সংখ্যা থাকে ১২ টা। তাহলে প্রতি ঘন্টার জন্য কোণ হবে (৩৬০°÷১২)=৩০°।
কোণের মান বের করার ক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে যে, কখনোই কোনের মান ১৮০° এর বেশি হবে না অথবা ব্যবধান ৬ এর বেশি হবে না। এবার কিছু প্রশ্ন দেখা যাক।
প্রশ্ন ১: ঘড়িতে যখন চারটা বাজে, ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার কোণটি কত ডিগ্রি..?-উত্তর: ১২০°।
ব্যাখ্যা : যখন চারটা বাজে তখন ঘন্টার কাঁটাটি ৪ টায় এবং মিনিটের কাঁটাটি ১২ টায় থাকবে। ফলে দুটো কাটার ব্যবধান হবে ৪। আগেই বের করেছি যে প্রতি ঘন্টার জন্য কোণের মান হবে ৩০°, তাই ৪ এর জন্য কোণের মান হবে (৩০°×৪)=১২০°।
প্রশ্ন ২: ঘড়িতে যখন আটটা বাজে, ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার কোণটি কত ডিগ্রি?-উত্তর: ১২০°।
ব্যাখ্যা : যখন ঘড়িতে আটটা বাজে তখন ঘন্টার কাঁটাটি ৮ টায় এবং মিনিটের কাঁটাটি ১২ টায় থাকবে। ফলে দুটো কাটার ব্যবধান হবে ৪। কেউ হয়ত ১২ থেকে ৮ টটা পর্যন্ত গুনে বলতে পারেন ব্যবধান ৮, কিন্তু এটা করা যাবে না কেননা তখন কোণটি ১৮০° এর চেয়ে বড় হয়ে যাবে, আগেই বলেছি কোণের মান ১৮০° চেয়ে বেশি হতে পারবে না, এজন্য ব্যবধান কখনোই ৬ এর বেশি হবে না। তাই ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত ব্যবধান ৪ হবে। আগেই বের করেছি যে প্রতি ঘন্টার জন্য কোণের মান হবে ৩০°, তাই ৪ এর জন্য কোণের মান হবে (৩০°×৪)=১২০°।
প্রশ্ন ৩: যখন ঘড়িতে সারে এগারোটা বাজে, ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার কোণটি কত ডিগ্রি?-উত্তর: ১৬৫°।
ব্যাখ্যা : যখন সারে এগারোটা
বাজে তখন ঘন্টার কাঁটাটি ১১ এবং ১২ এর মাঝামাঝি অর্থাৎ ১১.৫ টায় এবং মিনিটের
কাঁটাটি ৬ টায় থাকবে। ফলে দুটো কাটার ব্যবধান হবে ৫.৫। অনেকের মনে হতে পারে যে
ব্যবধান তো ৬.৫ ও হতে পারে। হ্যাঁ হতে পারে, কিন্তু এক্ষেত্রে ব্যবধান কখনোই ৬ এর
বেশি হবে না, তাই যেদিক থেকে গুনলে ব্যবধান ৬ এর মধ্যে থাকে সেদিক থেকেই গুনতে
হবে। আগেই বের করেছি যে প্রতি ঘন্টার জন্য কোণের মান হবে ৩০°, তাই ৫.৫ এর জন্য
কোণের মান হবে (৩০°×৫.৫)=১৬৫°।
শুধু মাত্র ১টি
সুত্র মনে রাখলেই, মাত্র ১৫-২০ সেকেন্ডের মধ্যেই ঘড়ির, ঘন্টা ও মিনিট এর কাটার
মধ্যেবর্তী কোণের দূরত্বের নির্নয়ের নিচের অংক গুলোর উত্তর করতে পারবেন
টেকনিকঃ (11×M - 6O×H)÷2
টেকনিকঃ (11×M - 6O×H)÷2
এখানে, M=মিনিট
H=ঘন্টা
উদাহরনঃ যদি ঘড়িতে ২ টা ৪০ মিনিট হয়, তবে ঘণ্টার কাটা ও মিনিটের কাটা কত ডিগ্রি কোন উৎপন্ন করে।
উদাহরনঃ যদি ঘড়িতে ২ টা ৪০ মিনিট হয়, তবে ঘণ্টার কাটা ও মিনিটের কাটা কত ডিগ্রি কোন উৎপন্ন করে।
সূত্র: (11 × M – 6O
× H)÷2, (এখানে M এর স্থানে মিনিট ও H এর স্থানে ঘন্টা বসাতে হবে)
সমাধানঃ
(11 × 4O–6O×2)÷2
সমাধানঃ
(11 × 4O–6O×2)÷2
= 160(উঃ)
[বিঃদ্রঃযদি কোনের
মান 180° অতিক্রম করে (অর্থাৎ 180 ° চেয়ে বেশি হয়)তবে প্রাপ্ত মানকে ৩৬০ থেকে
বিয়োগ করে কোন এর মান নির্নয় করতে হবে]
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মনে রাখার কৌশল
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মনে রাখার কৌশল
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ টি।
কিভাবে মনে রাখবেন?
Just remember as a phone number or your account number: 44 22 322 321
(৪) ১-১০ পর্যন্ত ৪ টি যথাঃ ২, ৩, ৫,৭
(৪) ১১-২০ পর্যন্ত ৪ টি যথাঃ ১১, ১৩, ১৭, ১৯
(২) ২১-৩০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ২৩, ২৯
(২) ৩১-৪০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ৩১, ৩৭
(৩) ৪১-৫০ পর্যন্ত ৩ টি যথাঃ ৪১, ৪৩, ৪৭
(২) ৫১-৬০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ৫৩, ৫৯
(২) ৬১-৭০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ৬১, ৬৭
(৩) ৭১-৮০ পর্যন্ত ৩ টি যথাঃ ৭১, ৭৩, ৭৯
(২) ৮১-৯০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ৮৩, ৮৯
(১) ৯১-১০০ পর্যন্ত ১ টি যথাঃ ৯৭
মোট ২৫ টি।
11 থেকে 99 পর্যন্ত বর্গ করার কৌশল []
সূত্র:- (xy)^2=abc [যেখানে;b,cএকটি
করে সংখ্যা & a এক বা একাধিক
সংখ্যা হতে পারে]
এবং
a=x^2
b=2xy
c=y^2
এবার 11 &25 বর্গ করি৷
(11)^2=(1^2)(2.1.1)(1^2)
=(1)(2)(1)
=121
আবার
(25)^2=(2^2)(2.2.5)(5^2)
=(4)(20)(25)
=(4)(20+2)5
=(4)(22)5
=(4+2)25
কিভাবে মনে রাখবেন?
Just remember as a phone number or your account number: 44 22 322 321
(৪) ১-১০ পর্যন্ত ৪ টি যথাঃ ২, ৩, ৫,৭
(৪) ১১-২০ পর্যন্ত ৪ টি যথাঃ ১১, ১৩, ১৭, ১৯
(২) ২১-৩০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ২৩, ২৯
(২) ৩১-৪০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ৩১, ৩৭
(৩) ৪১-৫০ পর্যন্ত ৩ টি যথাঃ ৪১, ৪৩, ৪৭
(২) ৫১-৬০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ৫৩, ৫৯
(২) ৬১-৭০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ৬১, ৬৭
(৩) ৭১-৮০ পর্যন্ত ৩ টি যথাঃ ৭১, ৭৩, ৭৯
(২) ৮১-৯০ পর্যন্ত ২ টি যথাঃ ৮৩, ৮৯
(১) ৯১-১০০ পর্যন্ত ১ টি যথাঃ ৯৭
মোট ২৫ টি।
11 থেকে 99 পর্যন্ত বর্গ করার কৌশল []
সূত্র:- (xy)^2=abc [যেখানে;b,cএকটি
করে সংখ্যা & a এক বা একাধিক
সংখ্যা হতে পারে]
এবং
a=x^2
b=2xy
c=y^2
এবার 11 &25 বর্গ করি৷
(11)^2=(1^2)(2.1.1)(1^2)
=(1)(2)(1)
=121
আবার
(25)^2=(2^2)(2.2.5)(5^2)
=(4)(20)(25)
=(4)(20+2)5
=(4)(22)5
=(4+2)25
অনুপাত করার শর্টকাট টেকনিক
সুত্রঃ১-
মনে রাখুনঃ যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দুইটির প্রার্থক্য একই হয় তখন-
টেকনিক 1 : p={(x ÷ s)× d}
অর্থাৎ মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান(p)=মোট মিশ্রনের পরিমান(x) ÷ অনুপাতের ছোট সংখ্যা(s) × অনুপাতের প্রার্থক্য(d).
উদাহরনঃ 60লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলের মিশ্রনের অনুপাত 7 : 3 ঐ মিশ্রনে আর কত লিটার পেট্রোল মেশালে অনুপাত 3:7 হবে? .
সমাধানঃ am ={(t ÷ s)× d}
=(60 ÷ 3) × (7-3)
=20×4
=80(উঃ)
সুত্র-২
মনে রাখুনঃযখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা ২টির প্রার্থক্য ভিন্ন হয় তখন-
টেকনিক_2 : [p=w ÷ (s1+ s2)]
অর্থাৎ মিশ্রিত বস্তুর পরিমান(p)=বস্তুর মোট ওজন(w)÷১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল(s1 + s2) .
উদাহরনঃ একটি সোনার গহনার ওজন 16 গ্রাম।তাতে সোনার পরিমানঃতামার পরিমান= 3:1 তাতে আর কি পরিমান সোনা মেশালে অনুপাত 4:1 হবে।
(অংকটি 17 ও 21তম বিসিএস সহ মোট10টি পরিক্ষায় আসছে) .
সমাধানঃ
p ={w ÷ (s1 + s2)}
={16 ÷(3+1)}
=16÷4
=4(উঃ)
সুত্র ৩ঃ
উত্তর রাশি বের করার টেকনিক
3_টেকনিক
মনে রাখুনঃ উত্তর রাশি=(২য় অনুপাত×পূর্ব রাশি)÷(১ম অনুপাত) .
মনে রাখুনঃ যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দুইটির প্রার্থক্য একই হয় তখন-
টেকনিক 1 : p={(x ÷ s)× d}
অর্থাৎ মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান(p)=মোট মিশ্রনের পরিমান(x) ÷ অনুপাতের ছোট সংখ্যা(s) × অনুপাতের প্রার্থক্য(d).
উদাহরনঃ 60লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলের মিশ্রনের অনুপাত 7 : 3 ঐ মিশ্রনে আর কত লিটার পেট্রোল মেশালে অনুপাত 3:7 হবে? .
সমাধানঃ am ={(t ÷ s)× d}
=(60 ÷ 3) × (7-3)
=20×4
=80(উঃ)
সুত্র-২
মনে রাখুনঃযখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা ২টির প্রার্থক্য ভিন্ন হয় তখন-
টেকনিক_2 : [p=w ÷ (s1+ s2)]
অর্থাৎ মিশ্রিত বস্তুর পরিমান(p)=বস্তুর মোট ওজন(w)÷১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল(s1 + s2) .
উদাহরনঃ একটি সোনার গহনার ওজন 16 গ্রাম।তাতে সোনার পরিমানঃতামার পরিমান= 3:1 তাতে আর কি পরিমান সোনা মেশালে অনুপাত 4:1 হবে।
(অংকটি 17 ও 21তম বিসিএস সহ মোট10টি পরিক্ষায় আসছে) .
সমাধানঃ
p ={w ÷ (s1 + s2)}
={16 ÷(3+1)}
=16÷4
=4(উঃ)
সুত্র ৩ঃ
উত্তর রাশি বের করার টেকনিক
3_টেকনিক
মনে রাখুনঃ উত্তর রাশি=(২য় অনুপাত×পূর্ব রাশি)÷(১ম অনুপাত) .
উদাহরনঃ দুইটি রাশির
অনুপাত ৪:৭।পূর্ব রাশি ২৪ হলে উত্তর রাশি কত???
সমাধানঃ
উত্তর রাশি=(২য় অনুপাত×পূর্ব রাশি)÷(১ম অনুপাত)
=(৭×২৪)÷(৪)
=৪২ (উত্তর)
এখন নিজে নিজে করুন
প্রশ্ন:
১।৩২ লিটার অকটেন- পেট্রোল মিশ্রেনে , পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫:৩। এতে আর কত অকটনে মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত হবে ৪:৫?
২।২১লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৪ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৪ হবে?
৩। ৪২গ্রাম ওজনের একটি গয়নায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪:৩ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৫:৩ হবে?
৪। ৩০লিটার পরিমাণ এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩ । ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?
৫। একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম ।সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৪:১ হবে?
৬।৬০লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৭ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৭ হবে?
সমাধানঃ
উত্তর রাশি=(২য় অনুপাত×পূর্ব রাশি)÷(১ম অনুপাত)
=(৭×২৪)÷(৪)
=৪২ (উত্তর)
এখন নিজে নিজে করুন
প্রশ্ন:
১।৩২ লিটার অকটেন- পেট্রোল মিশ্রেনে , পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫:৩। এতে আর কত অকটনে মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত হবে ৪:৫?
২।২১লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৪ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৪ হবে?
৩। ৪২গ্রাম ওজনের একটি গয়নায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪:৩ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৫:৩ হবে?
৪। ৩০লিটার পরিমাণ এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩ । ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?
৫। একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম ।সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৪:১ হবে?
৬।৬০লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৭ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৭ হবে?
কাজ ও সময় সম্পর্কিত শর্টকাট
সূত্রের নতুন কিছু নিয়ম:
সূত্র →১ : যদি
কাজ, সময় এবং লোক উল্লেখ থাকে তাহলেঃ
টেকনিক-1:
M1 x T1=M2 x T2
T2=(M1 x T1)/M2
এখানে,
M1= ১ম লোক
M2=২য় লোক
T1=১ম সময়
T2=সময়
উদাহরনঃ ১০ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৮ জন লোকের ঐ কাজ কত দিনে করতে পারে ?
সমাধানঃT2=(M1 x T1)/M2
=(১০ x ২০)÷৮
=(২০০÷৮)=২৫ দিন(উঃ)
সূত্র→ ২ : যদি কাজের ক্ষেত্রে
পুরুষ =স্ত্রী/বালক বা স্ত্রী=পুরুষ/বালক এবং T1 (১ম সময়) উল্লেখ থাকে তাহলেঃ
টেকনিক-2:
T2=(T1)÷((M3/M1) + (M4/M2))
এখানে,M1=১ম জন
M2=2য় জন
M3=৩য় জন
M4=৪র্থ জন
উদাহরনঃ২ জন পুরুষ বা ৩ জন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে ৪ জন পুরুষ ও ৯ জন বালক তার দ্বিগুনকাজ কত দিনে করতে পারে ?
সমাধানঃT2=T1÷ ((M3/M1)+(M4/M2))
=১৫÷((৪/২)+(৯/৩))
=১৫÷৫
=৩ দিন(উঃ)
টেকনিক-1:
M1 x T1=M2 x T2
T2=(M1 x T1)/M2
এখানে,
M1= ১ম লোক
M2=২য় লোক
T1=১ম সময়
T2=সময়
উদাহরনঃ ১০ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৮ জন লোকের ঐ কাজ কত দিনে করতে পারে ?
সমাধানঃT2=(M1 x T1)/M2
=(১০ x ২০)÷৮
=(২০০÷৮)=২৫ দিন(উঃ)
সূত্র→ ২ : যদি কাজের ক্ষেত্রে
পুরুষ =স্ত্রী/বালক বা স্ত্রী=পুরুষ/বালক এবং T1 (১ম সময়) উল্লেখ থাকে তাহলেঃ
টেকনিক-2:
T2=(T1)÷((M3/M1) + (M4/M2))
এখানে,M1=১ম জন
M2=2য় জন
M3=৩য় জন
M4=৪র্থ জন
উদাহরনঃ২ জন পুরুষ বা ৩ জন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে ৪ জন পুরুষ ও ৯ জন বালক তার দ্বিগুনকাজ কত দিনে করতে পারে ?
সমাধানঃT2=T1÷ ((M3/M1)+(M4/M2))
=১৫÷((৪/২)+(৯/৩))
=১৫÷৫
=৩ দিন(উঃ)
সংখ্যা নির্নয় সংক্রান্ত
শর্টকাট টেকনিক
১. প্রশ্নঃ দুইটি
ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি 47 হয় তবে বড় সংখ্যাটি কত?
টেকনিক ১.
সমাধানঃ বড় সংখ্যা =(47+1)÷2=24 (উঃ)
২. দুইটি বর্গের অন্তর বা প্রার্থক্য দেওয়া থাকলে,ছোট সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
টেকনিক ২. ছোট সংখ্যাটি = (বর্গের অন্তর - 1)÷2
প্রশ্নঃ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 33। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত হবে?
সমাধানঃ ছোট সংখ্যাটি = (33-1)÷2=16 (উঃ)
৩. যত বড়....তত ছোট/ তত ছোট....যত বড় উল্লেখ থাকলে সংখ্যা নির্নয়ের ক্ষেত্রে-
টেকনিক ৩. সংখ্যাটি =সুজন (প্রদত্তসংখ্যা দুটির যোগফল)÷2
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা 742 থেকে যত বড় 830 থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধানঃ সংখ্যাটি = (742+830)÷2 = 786 (উঃ)
৪. দুইটি সংখ্যার গুনফল এবং একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে অপর সংখ্যাটি নির্নয়ের ক্ষেত্রে-
টেকনিক ৪. সংখ্যা দুটির গুনফল÷একটি সংখ্যা
প্রশ্নঃ 2টি সংখ্যার গুনফল 2304 একটি সংখ্যা 96 হলে অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধানঃ অপর সংখ্যাটি = (2304÷96) = 24 (উঃ)
টেকনিক ১.
সমাধানঃ বড় সংখ্যা =(47+1)÷2=24 (উঃ)
২. দুইটি বর্গের অন্তর বা প্রার্থক্য দেওয়া থাকলে,ছোট সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
টেকনিক ২. ছোট সংখ্যাটি = (বর্গের অন্তর - 1)÷2
প্রশ্নঃ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 33। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত হবে?
সমাধানঃ ছোট সংখ্যাটি = (33-1)÷2=16 (উঃ)
৩. যত বড়....তত ছোট/ তত ছোট....যত বড় উল্লেখ থাকলে সংখ্যা নির্নয়ের ক্ষেত্রে-
টেকনিক ৩. সংখ্যাটি =সুজন (প্রদত্তসংখ্যা দুটির যোগফল)÷2
প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা 742 থেকে যত বড় 830 থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধানঃ সংখ্যাটি = (742+830)÷2 = 786 (উঃ)
৪. দুইটি সংখ্যার গুনফল এবং একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে অপর সংখ্যাটি নির্নয়ের ক্ষেত্রে-
টেকনিক ৪. সংখ্যা দুটির গুনফল÷একটি সংখ্যা
প্রশ্নঃ 2টি সংখ্যার গুনফল 2304 একটি সংখ্যা 96 হলে অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধানঃ অপর সংখ্যাটি = (2304÷96) = 24 (উঃ)
ত্রিকোনোমিতি করার শর্টকাট
টেকনিক
সুত্র : ১ শীর্ষবিন্দুর
উন্নতি কোন 30°হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনেরাখুন উচ্চতা= [পাদদেশ হতে
দুরত্ত্ব÷√3]
উদাহরন : একটি মিনাররের পাদদেশ হতে 20 মিটার দুরের ১টি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে মিনারের উচ্চতা কত?
সমাধানঃ
উচ্চতা =[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3] =20/√3(উঃ)
সুত্র২ : শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোন 60 হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক
মনে রাখুন উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব ×√3]
উদাহরনঃ একটি তাল গাছের পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দুরবর্তী স্থান থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোন 60° হলে গাছটির উচ্চতা নির্ন্যয় করুন?
অথবাঃ সুর্যের উন্নতি কোন 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?
সমাধান : উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব ×√3]
=10√3
=17.13(উঃ)
(মুখস্ত রাখুন √3=1.73205)
(শুধু মনে রাখুন 30° হলে ভাগ এবং 60° হলে গুন হবে)
সুত্র৩ : সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভুমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-কত উচুতে ভেংগেছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
উদাহরন : একটি 48 মিটার লম্বা খুটি ভেংগে গিয়ে সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোণ উৎপন্ন করে। খুটিটি কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো ?
সমাধান : কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো =(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
=48÷3
=16(উঃ)
সুত্র 4: সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভূমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ন্যেয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট_টেকনিক : কত উচুতে ভেংগেছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
উদাহরন: 18 ফুট উচু একটি খুটি এমন ভাবে ভেংগে গেলো যে ভাংগা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোনে স্পর্শ করলো। খুটিটি মাটি থেকে কতফুট উচুতে ভেংগে গিয়েছলো?
সমাধান: কত উচুতে ভেংগেছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
=(18÷3) =6 ফুট (উঃ)
সুত্রঃ5 যখন মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে লাগানো থাকে তখন-
শর্ট_টেকনিকঃ(মইয়ের উচ্চতা)² =(দেয়ালের উচ্চতা)² +(দেয়ালের দুরত্ব)²
উদাহরন: একটি 50মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে।মইয়ের একপ্রান্তে মাটি হতে 40মিটার উপরে দেয়ালকে স্পর্শ করে মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের লম্ব দুরত্ব কত মিটার?
সমাধান:
(মইয়ের উচ্চতা)² =(দেয়ালের উচ্চতা)² +(দেয়ালের দুরত্ব)²
বা, (দেয়ালের দুরত্ব)² =(মইয়ের উচ্চতা)² –(দেয়ালের উচ্চতা)²
বা, দেয়ালের দুরত্ব= √(50)² – √(40)²
=10মিটার (উঃ)
[লক্ষ্য করুনঃ উপরের এই ৫নং সুত্রের মাধ্যেমেই ‘মইয়ের উচ্চতা’ ‘দেয়ালের উচ্চতা’ ও ‘দেয়ালের দুরত্ব’ প্রশ্নে যাই বলে সব কয়টি শুধু প্রক্ষান্তর করে (প্রশ্নানুযায়ী ডান থেকে বামে সরিয়ে) নির্নয় করতে পারবেন।]
উদাহরন : একটি মিনাররের পাদদেশ হতে 20 মিটার দুরের ১টি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে মিনারের উচ্চতা কত?
সমাধানঃ
উচ্চতা =[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3] =20/√3(উঃ)
সুত্র২ : শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোন 60 হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক
মনে রাখুন উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব ×√3]
উদাহরনঃ একটি তাল গাছের পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দুরবর্তী স্থান থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোন 60° হলে গাছটির উচ্চতা নির্ন্যয় করুন?
অথবাঃ সুর্যের উন্নতি কোন 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?
সমাধান : উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব ×√3]
=10√3
=17.13(উঃ)
(মুখস্ত রাখুন √3=1.73205)
(শুধু মনে রাখুন 30° হলে ভাগ এবং 60° হলে গুন হবে)
সুত্র৩ : সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভুমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-কত উচুতে ভেংগেছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
উদাহরন : একটি 48 মিটার লম্বা খুটি ভেংগে গিয়ে সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোণ উৎপন্ন করে। খুটিটি কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো ?
সমাধান : কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো =(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
=48÷3
=16(উঃ)
সুত্র 4: সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভূমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ন্যেয়ের ক্ষেত্রে-
শর্ট_টেকনিক : কত উচুতে ভেংগেছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
উদাহরন: 18 ফুট উচু একটি খুটি এমন ভাবে ভেংগে গেলো যে ভাংগা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোনে স্পর্শ করলো। খুটিটি মাটি থেকে কতফুট উচুতে ভেংগে গিয়েছলো?
সমাধান: কত উচুতে ভেংগেছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
=(18÷3) =6 ফুট (উঃ)
সুত্রঃ5 যখন মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে লাগানো থাকে তখন-
শর্ট_টেকনিকঃ(মইয়ের উচ্চতা)² =(দেয়ালের উচ্চতা)² +(দেয়ালের দুরত্ব)²
উদাহরন: একটি 50মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে।মইয়ের একপ্রান্তে মাটি হতে 40মিটার উপরে দেয়ালকে স্পর্শ করে মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের লম্ব দুরত্ব কত মিটার?
সমাধান:
(মইয়ের উচ্চতা)² =(দেয়ালের উচ্চতা)² +(দেয়ালের দুরত্ব)²
বা, (দেয়ালের দুরত্ব)² =(মইয়ের উচ্চতা)² –(দেয়ালের উচ্চতা)²
বা, দেয়ালের দুরত্ব= √(50)² – √(40)²
=10মিটার (উঃ)
[লক্ষ্য করুনঃ উপরের এই ৫নং সুত্রের মাধ্যেমেই ‘মইয়ের উচ্চতা’ ‘দেয়ালের উচ্চতা’ ও ‘দেয়ালের দুরত্ব’ প্রশ্নে যাই বলে সব কয়টি শুধু প্রক্ষান্তর করে (প্রশ্নানুযায়ী ডান থেকে বামে সরিয়ে) নির্নয় করতে পারবেন।]
দ্রুত বিভাজ্যতা নির্ণয় করবেন কি
ভাবে
২ দ্বারা বিভাজ্য: কোন
সংখ্যার শেষ অংক বা এককের অংক যদি জোড় সংখ্যা বা ০ হয়, তবে ঐ সংখ্যা ২ দ্বারা
বিভাজ্য হবে। যেমন- ৬, ১০ ইত্যাদি।
৩ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১২৩২৪=১+২+৩+২+৪=১২ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ১২৩২৪ সংখ্যাও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৪ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার শেষ দুটি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৭৪৫২৮। এখানে শেষ দুটি অংক ২৮ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৭৪৫২৮ সংখ্যাও ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৫ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার শেষে ০ বা ৫ থাকলে ঐ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১০১১০।
৬ দ্বারা বিভাজ্য: সংখ্যাটি জোড় এবং অংকগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১২৫৪।
৮ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার শেষ ৩টি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৮৫৭৮১২০।
৯ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন- ৬৫৮৪৭৬।
চৌবাচ্চা সংক্রান্ত -৩০ সেকেন্ডে করে ফেলুন এখান থেকে কমন থাকে
৩ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১২৩২৪=১+২+৩+২+৪=১২ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ১২৩২৪ সংখ্যাও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৪ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার শেষ দুটি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৭৪৫২৮। এখানে শেষ দুটি অংক ২৮ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৭৪৫২৮ সংখ্যাও ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৫ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার শেষে ০ বা ৫ থাকলে ঐ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১০১১০।
৬ দ্বারা বিভাজ্য: সংখ্যাটি জোড় এবং অংকগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১২৫৪।
৮ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার শেষ ৩টি অংক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৮৫৭৮১২০।
৯ দ্বারা বিভাজ্য: কোন সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন- ৬৫৮৪৭৬।
চৌবাচ্চা সংক্রান্ত -৩০ সেকেন্ডে করে ফেলুন এখান থেকে কমন থাকে
টেকনিক
যখন ২টি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয়
সময়, T=[mn ÷(m + n)]
এখানে,
m=১ম নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয় সময়
n=২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয় সময়
প্রশ্ন-১
একটি চৌবাচ্চা ২টি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ ও ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দু’টি একসংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
সমাধানঃ
প্রয়োজনীয় সময়,
T= [mn ÷ (m + n)]
= (৩০ × ২০) ÷ (৩০ + ২০)
= ৬০০÷৫০
= ১২ মিনিট
উত্তর: ১২ মিনিট
এবার চলুন একটু ভিন্ন ধরনের ১টি সমস্যা দেখা যাকঃ
প্রশ্ন- ২
সম্পুর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘন্টায় সম্পুর্ণ ভর্তি করা যায়। অপর একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে ৩ ঘন্টা সময় লাগে। ২টি পাইপ একসংগে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটি ২/৩ অংশ পূর্ন করতে কত সময় লাগবে?
যখন ২টি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয়
সময়, T=[mn ÷(m + n)]
এখানে,
m=১ম নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয় সময়
n=২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে প্রয়োজনীয় সময়
প্রশ্ন-১
একটি চৌবাচ্চা ২টি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ ও ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দু’টি একসংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
সমাধানঃ
প্রয়োজনীয় সময়,
T= [mn ÷ (m + n)]
= (৩০ × ২০) ÷ (৩০ + ২০)
= ৬০০÷৫০
= ১২ মিনিট
উত্তর: ১২ মিনিট
এবার চলুন একটু ভিন্ন ধরনের ১টি সমস্যা দেখা যাকঃ
প্রশ্ন- ২
সম্পুর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘন্টায় সম্পুর্ণ ভর্তি করা যায়। অপর একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে ৩ ঘন্টা সময় লাগে। ২টি পাইপ একসংগে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটি ২/৩ অংশ পূর্ন করতে কত সময় লাগবে?
লক্ষ্য করুন, প্রশ্নের শেষে লিখা আছে
দু’টি পাইপ একসংগে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটি ২/৩ অংশ পূর্ণ করতে কত সময় লাগবে?
(পুরো চৌবাচ্চাটির পূর্ণ হওয়ার কথা প্রশ্নে উল্লেখ না করে যদি (২/৩ অংশ বা ৪/৫ অংশ বা ১/৩ অংশ) পূর্ণ হতে কত সময় লাগে এভাবে উল্লেখ থাকে; তবে আপনি যত অংশ বলবে তত দিয়ে উত্তরকে গুণ করে দেবেন।)
(পুরো চৌবাচ্চাটির পূর্ণ হওয়ার কথা প্রশ্নে উল্লেখ না করে যদি (২/৩ অংশ বা ৪/৫ অংশ বা ১/৩ অংশ) পূর্ণ হতে কত সময় লাগে এভাবে উল্লেখ থাকে; তবে আপনি যত অংশ বলবে তত দিয়ে উত্তরকে গুণ করে দেবেন।)
যেমন উপরের অংকটির ক্ষেত্রে,
প্রয়োজনীয় সময়,
T = [mn ÷ (m +n) × ২/৩]
= [(৩ × ৫)÷(৩+৫) × ২/৩ ]
= [১৫/৮ × ২/৩ ]
= ৫/৪ ঘন্টা, উত্তর : ৫/৪ ঘন্টা
(বি:দ্র: নতুন কিছুই হয়নি শুধু ২/৩ দিয়ে গুন করে দেয়া হয়েছে)
প্রয়োজনীয় সময়,
T = [mn ÷ (m +n) × ২/৩]
= [(৩ × ৫)÷(৩+৫) × ২/৩ ]
= [১৫/৮ × ২/৩ ]
= ৫/৪ ঘন্টা, উত্তর : ৫/৪ ঘন্টা
(বি:দ্র: নতুন কিছুই হয়নি শুধু ২/৩ দিয়ে গুন করে দেয়া হয়েছে)
জ্যামিতির বেসিক কনসেপ্ট
১। একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?— ৬ সমকোণ
২।একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি— ৭২০ ডিগ্রি
৩।বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়— ৯গুন
৪।কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে— অন্ত:কেন্দ্র
৫।স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ––৯০ ডিগ্রী
২।একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি— ৭২০ ডিগ্রি
৩।বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়— ৯গুন
৪।কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে— অন্ত:কেন্দ্র
৫।স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ––৯০ ডিগ্রী
৬।তিন কোণ দেওয়া থাকলে যে সকল
ত্রিভুজ আঁকা যায় তাদের বলে— সদৃশ ত্রিভুজ
৭।ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি–দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম
৮।কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলি সমান হলে , ত্রিভুজটি— সমদ্বিবাহু
৯।২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে ?— প্রবৃদ্ধ কোণ
১০।একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দু,টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি–১৮০ ডিগ্রি
১০৷জ্যা’ শব্দের অর্থ কি?=ভূমি
১১৷ দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?=সম্পূরক কোণ
১২৷ একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে=দুই সমকোণ(১৮০°)
১৩৷ <A ও <B পরস্পর সম্পূরক কোণ ৷ <A=115° হলে <B=কত?=65°
১৪৷ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি কত?=৯০°
১৫৷ সম্পূরক কোণের মান কত?=১৮০°
১৬। কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি— ৩৬০ ডিগ্রী
১৭। সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩,৪ সেমি হলে, অতিভুজের মান কত?— ৫ সে.মি
১৮। সামন্তরিকের বিপরীত কোণেরঅর্ন্তদ্বিখন্ডকদ্বয়–পরস্পর সমান্তরাল
১৯। একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে , বর্গক্ষেত্র দু.টির কর্ণের অনুপাত কত?–৪:১
২০। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিকন্ডিত করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ— ৯০ ডিগ্রী
৭।ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি–দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম
৮।কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলি সমান হলে , ত্রিভুজটি— সমদ্বিবাহু
৯।২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে ?— প্রবৃদ্ধ কোণ
১০।একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দু,টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি–১৮০ ডিগ্রি
১০৷জ্যা’ শব্দের অর্থ কি?=ভূমি
১১৷ দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?=সম্পূরক কোণ
১২৷ একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে=দুই সমকোণ(১৮০°)
১৩৷ <A ও <B পরস্পর সম্পূরক কোণ ৷ <A=115° হলে <B=কত?=65°
১৪৷ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি কত?=৯০°
১৫৷ সম্পূরক কোণের মান কত?=১৮০°
১৬। কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি— ৩৬০ ডিগ্রী
১৭। সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩,৪ সেমি হলে, অতিভুজের মান কত?— ৫ সে.মি
১৮। সামন্তরিকের বিপরীত কোণেরঅর্ন্তদ্বিখন্ডকদ্বয়–পরস্পর সমান্তরাল
১৯। একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে , বর্গক্ষেত্র দু.টির কর্ণের অনুপাত কত?–৪:১
২০। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিকন্ডিত করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ— ৯০ ডিগ্রী
বৃত্ত সম্পর্কিত তথ্য
১. পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কে
বলা হয়?=পরিধি
২. বৃত্তের পরিধির সূত্র=2πr
৩. পরিধির যেকোন অংশকে বলা হয়=চাপ
৪. পরিধির যেকোন দুই বিন্দুর সংযোগ সরলরেখাকে বলা হয়=জ্যা( বৃত্তের ব্যাস হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা)
৫. বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা-ই=ব্যাস
৬. কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা হয়=ব্যাসার্ধ
২. বৃত্তের পরিধির সূত্র=2πr
৩. পরিধির যেকোন অংশকে বলা হয়=চাপ
৪. পরিধির যেকোন দুই বিন্দুর সংযোগ সরলরেখাকে বলা হয়=জ্যা( বৃত্তের ব্যাস হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা)
৫. বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা-ই=ব্যাস
৬. কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা হয়=ব্যাসার্ধ
বৃত্ত
সম্পর্কিত কিছু ধারণাঃ
১.একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি
বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোন বৃত্ত আকা যায়না।
২.দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।
৩.একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।
৪.বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।
৫.বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
৬.বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
২.দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।
৩.একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।
৪.বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।
৫.বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
৬.বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
৭.বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে
কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।
৮.বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
৯.বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
১০কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।
১১.অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।
»বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:
১.বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =πr² (যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
২.গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =4πr²
৩.গোলকের আয়তন =4÷3(πr³)
৮.বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
৯.বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
১০কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।
১১.অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।
»বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:
১.বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =πr² (যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
২.গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =4πr²
৩.গোলকের আয়তন =4÷3(πr³)
গনিতের বস হতে চাইলে পড়ুন
১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?— ৬ সমকোণ
২. একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি— ৭২০ ডিগ্রি
৩. বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়— ৯গুন
২. একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি— ৭২০ ডিগ্রি
৩. বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়— ৯গুন
৪. কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর
লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে— পরিকেন্দ্র
৫. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ––৯০ ডিগ্রী
৬. তিন কোণ দেওয়া থাকলে যে সকল ত্রিভুজ আঁকা যায় তাদের বলে— সদৃশ ত্রিভুজ
৭. ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি–দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম
৫. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ––৯০ ডিগ্রী
৬. তিন কোণ দেওয়া থাকলে যে সকল ত্রিভুজ আঁকা যায় তাদের বলে— সদৃশ ত্রিভুজ
৭. ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি–দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম
৮. কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে
বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলি সমান
হলে, ত্রিভুজটি— সমদ্বিবাহু
৯. ২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে ?— প্রবৃদ্ধ কোণ
১০.একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দু,টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি–১৮০ ডিগ্রি
হলে, ত্রিভুজটি— সমদ্বিবাহু
৯. ২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে ?— প্রবৃদ্ধ কোণ
১০.একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দু,টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি–১৮০ ডিগ্রি
বীজ গনিতের সুত্র সমূহঃ-
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = (a – b)² + 4ab
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = (a – b)² + 4ab
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
a² + b² = (a + b)² – 2ab
a² + b² = (a – b)² + 2ab
a² – b² = (a + b)(a – b)
2(α² + в²) = (a + в)² + (a – в)²
4ab = (a + b)² -(a – b)²
a² + b² = (a – b)² + 2ab
a² – b² = (a + b)(a – b)
2(α² + в²) = (a + в)² + (a – в)²
4ab = (a + b)² -(a – b)²
ab = {(a + b)/2}² – {(a – b)/2}²
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc +ca)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)
(a – b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc +ca)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)
(a – b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)
a³ -b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab (a – b)
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc +ca)
a³ -b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab (a – b)
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc +ca)
দ্রুত ও সহজে জ্যামিতির অংক
শেষ করার কৌশল
ত্রিভুজ (Triangle) :
ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল:
১.সাধারণ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল =১/২(ভূমি×উচ্চতা)
২.সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল =১/২(সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)
৩.সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = a/4√(4b² -a²) যেখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু
৪.সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল =√3/4 a² যেখানে, a = যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য
১.সাধারণ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল =১/২(ভূমি×উচ্চতা)
২.সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল =১/২(সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)
৩.সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = a/4√(4b² -a²) যেখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু
৪.সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল =√3/4 a² যেখানে, a = যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য
বর্গক্ষেত্র (Square) :
চার বাহু সমান এবং কোণগুলো সমাকোণ
কর্ণদ্বয় সমান এবং এরা পরস্পরকে
সমকোণে সমদ্বিথণ্ডিত করে।
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x এক বাহুর
পরিমাণ
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
বর্গ ক্ষেত্রের কর্ণ =√2
× একবাহুর দৈর্ঘ্য
আয়তক্ষেত্র (Rectangle) :
বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং
সমান্তরাল
কোণগুলোর প্রতিটি সমকোণ
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x
প্রস্থ
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য
+প্রস্থ)
সামান্তরিক (Parallelogram)
:
বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং
সমান্তরাল
কোণগুলো সমকোণ নয়
বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান
ক্ষেত্রফল = ভূমি x উচ্চতা
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
রম্বস :
চারটি বাহু সমান।
কোণগুলো সমকোণ নয়।
বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান এবং কর্ণ
দ্বয় অসমান।
কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণ সমদ্বিখণ্ডিত
করে।
ক্ষেত্রফল =১/২ x কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
পরিসীমা = 4 x কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
ট্রাপিজিয়াম (Trapezium) :
দুটি বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়,
বাকি দুটি তির্যক।
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2
×(সমান্তরাল বাহু দুইটির যোগফল)× উচ্চতা
চতুর্ভূজ বিষয়ক অনুসিদ্ধান্ত
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ দুটি সমান এবং পরস্পরকে
সমকোণে সমদ্বিথণ্ডিত করে।
সমান্তরিকের কর্ণ দ্বয় পরস্পরকে
সমদ্বিখণ্ডিত করে।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান এবং
পরস্পরকে সমদ্বিথণ্ডিত করে।
সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজের উপর অংকিত
বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গের সমষ্টির সমান।
নিম্নোক্ত শর্ত সাপেক্ষ চতুভূজ অংকন
করা যায় : ১ চারটি বাহু ও একটি কোণ ; ২ চারটি বাহু ও একটি কর্ণ; ৩ তিনটি কোণ ও
দুটি বাহু ও দুটি কর্ন।
সামান্তরিকোর বিপরীত বাহু ও কোণগুলো
পরস্পর সমান এবং প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভূজে বিভক্ত করে।
বৃত্তচাপ: বৃত্তের
সাথে সংযুক্ত বা এর পরিধির কোনো অংশ।
কেন্দ্র: বৃত্তের সকল বিন্দুর সেট হতে
সমদূরবর্তী একটি নির্দিষ্ট বিন্দু, যা বৃত্তের অন্তস্থ:।
জ্যা: এমন
একটি রেখাংশ যার প্রান্তিক বিন্দুদ্বয় বৃত্তের ভেতর থাকে।
বৃত্তীয় ক্ষেত্র: দুটি ব্যাসার্ধ ও একটি চাপ দ্বারা পরিবেষ্টিত
অঞ্চল।
পরিধি: বৃত্তের পরিসীমার দৈর্ঘ্য।
ব্যাসার্ধ: একটি রেখাংশ যা বৃত্তের কেন্দ্রের
সাথে বৃত্তের যে কোনো একটি বিন্দুকে যুক্ত করে। কার্যত: যেই
রেখাংশ ব্যাসের অর্ধেক তাই ব্যাসার্ধ।
স্পর্শক: একটি বৃত্ত বহির্ভুত একতলীয় সরলরেখা
যা বৃত্ততে একটি একক বিন্দুতে স্পর্শ করে মাত্র।
পরিধির দৈর্ঘ্য
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত
হলো π (পাই), একটি অমুলদ গাণিতিক
ধ্রুবক, এর মান প্রায় ৩.১৪১৫৯। পরিধির দৈর্ঘ্য C, ব্যাসার্ধ r ও ব্যাস d এর সাথে
সম্পৃক্তঃ
C = 2πr
ক্ষেত্রফল = πr2
বিভিন্ন নিয়োগ পরীক্ষায় আসা গণিত প্রশ্নোত্তর
১. পিতার বয়স পুত্রের অপেক্ষা ২
বছর বেশি, পিতার বয়স ৬২ হলে পুত্রের কত? উত্তরঃ
২. কোন বাহিনীতে যদি আরো ১১ জন
সদস্য নিয়োগ করা যেত, তাহলে তাদের ২০, ২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত, ঐ
বাহিনীতে সদস্য কত ছিল? উত্তরঃ ৫৮৯
৩. দুইটি সংখ্যার গসাগু এবং
লসাগু যথাক্রমে ২ এবং ৩৬০। একটি সংখ্যা ১০ হলে অপরটি কত? উত্তরঃ ৭২
৪. দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ঃ৮ ,
সংখ্যা দুইটির সাথে ২ যোগ করলে অনুপাত হয় ২ঃ৩। সংখ্যা দুইটি কি কি? উত্তরঃ ১০ এবং ১৬
৫. x + 1/x = √3
হলে x3 + 1/ x3 এর মান কত? উত্তরঃ 0
৬. X > Y এবং XY < 0 হলে
নীচের কোনটি ঋনাত্মক হবে? উত্তরঃ Y
৭. ১৩ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের
কেন্দ্র হতে ৫ সেমি দূরে জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত? উত্তরঃ ১২ সেমি
৮. বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের
অনুপাত কত? উত্তরঃ ২২/৭
৯. √2
কোন ধরনের সংখ্যা? উত্তরঃ অমূলদ
১০. একটি রম্বসের প্রতিটি বাহু
১৩ সেমি, একটী কর্ন ২৪ সেমি হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তরঃ ১০ সেমি
১১. X4 - x2 +1 = 0 হলে x2 +
1/x2 এর মান কত? উত্তরঃ ১
১২. পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
ও চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত? উ: ১
১৩. ০.১ এর বর্গমূল
কত? উ: ০.৩১৬
১৪. যদি x+5y=16 এবং x=-3y হয়
তাহলে y=? উ: ৮
১৫. a+2ab=6 হলে ab=4 হলে
2/a+1/b=? উ: 3/(-2) (সঠিক উত্তর নেই)
১৬. ১৫ ইউনিটের বিক্রয়মূল্য ২০
ইউনিটের ক্রয়মূল্যের সমান হলে বিক্রেতা কত লাভ করবে?
ধরি,
১৭ ইউনিটের ক্রয়মূল্য ২০ টাকা
অতএব, ১৫ মিনিটের ক্রয়মূল্য ১৫ টকা
তাহলে, প্রশ্নানুসারে ১৫ ইউনিটের
বিক্রয়মূল্য ২০ টাকা
অতএব, বিক্রেতার শতকরা লাভ
(২০-১৫)*১০০/১৫=৩৩.৩%, উ: ৩৩.৩%
১৮. একটি গ্রামের লোকসংখ্যা ৮%
হারে বেড়ে ১৬২০ হলে পূর্বের লোকসংখ্যা কত ছিল?
৮% বৃদ্ধিতে বর্তমানে
লোকসংখ্যা ১০৮ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০ জন
অতএব, বর্তমানে লোকসংখ্যা ১৬২০
জন হলে পূর্বে ছিল (১০০*১৬২০)/১০৮=১৫০০ জন
উ: ১৫০০
১৯. একটি কলম ২৭০ টাকায় বিক্রয়
করতে ১০% ক্ষতি হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?
ধরি,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৭০ টাকা হলে
ক্রয়মূল্য (১০০*২৭০)/৯০=৩০০ টাকা, উ: ৩০০ টাকা
২০. বর্তমানে যে যে নোট সরকারী
মুদ্রা-উ: ১,২ ও ৫ টাকা
২১. নিচের কোন ভগ্নাংশটি বড়?=৮১১(উত্তর)
২২. কোন কর্মকর্তা মাসিক ৩০০০০
টাকা বেতনে ২০১২ সালের ৭ ফেব্রুয়ারী যোগ দিলেন, তিনি ওই মাসে কত বেতন পাবেন?=২৩৭৯৩.১০ টাকা (উত্তর)
২৩. ২০০ এর ১২% এর সাথে ১০০ যোগ
করলে কত হবে?=১০১ (উত্তর)
২৪. একটি বর্গাকার বাগানের
ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর হলে এর পরিসীমা কত?=৪০০ মিটার
২৫. ২ ও ৩ এর মধ্যবর্তী একটি
মূলদ সংখ্যা হবে?=২ + ৩২(উত্তর)
২৬. a + c > b হলে নিচের
কোনটি সঠিক?=a > b - c (উত্তর)
২৭. একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য
বিস্তারের দেড়গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?=৬০ মিটার (উত্তর)
২৮. a + b = 9m এবং ab = 18m2
হলে a-b এর মান কত?=3m (উত্তর)
২৯. ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য
মিটারে দেওয়া হল, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভূজ আকা সম্ভব নয়?=১৪, ১২, ২৮ (উত্তর)
৩০. বার্ষিক শতকরা ৫% হার সুদে
৭২০ টাকার ২ বছর ৪ মাসের সুদ কত?=৮৪ টাকা
৩১. টাকায় ৩ টি করে আম ক্রয় করে
টাকায় ২ টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?=৫০% (উত্তর)
৩২. ABC ত্রিভুজের E ও F
যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু হলে EF = কত?=12BC
৩৩. a +1a =3 হলে a3+1a3= ?= 0 (উত্তর)
৩৪. loga + loga2+loga3+ ...
ধারাটির প্রথম ৭ টি পদের সমষ্ঠি কত?=28loga (উত্তর)
৩৫. কোন একটি ত্রিভুজের দুইটি
বাহু যথাক্রমে ৪ সেমি ও ৫ সেমি। তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত হলে ত্রিভুজটি সমকোণী
ত্রিভুজ হবে?=৩ সেমি (উত্তর)
৩৬.নিচের কোন সংখ্যাটি ২ এবং ৭
দ্বারা বিভাজ্য?=৩৬৪=উত্তর:
৩৭.৩০ থেকে ৮০ এর মধ্যাবর্তী
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার ব্যবধান কত?=৪৮
৩৮.কোন সংখ্যা হতে ১৭৫ বিয়োগ করে
১৩০ যোগ করলে যোগফল ২৯৭ হবে?=৩৪২
৩৯.এক গ্যালন = কত লিটার?=.৪.৫৫
লিটার
৪০.কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪,৫,৬
দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৩ অবশিষ্ট থাকে?=৬৩
৪১.২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা
গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?=২
৪২.16^2x+3 = 4 ^3x+6 হলে x =
?=০
৪৩.কোনো আসল ২০ বছরে সুদে - মূলে
দ্বিগুণ হলে কত বছরে সুদে-মূলে তিনগুণ হবে?=৪০ বছরে
৪৪.একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি
কোণ হবে-স্থুল কোণ
৪৫.দুটি ত্রিভুজের মধ্যে কোন
উপাদানগুলো সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দু’টি সর্বসম না ও হতে পারে?=তিন কোণ
৪৬. চালের মুল্য ১২% কমে যাওয়ায়
৬০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায়। ১ কুইন্টাল চাল বেশি
পাওয়া যায় । ১ কুইন্টাল চালের বর্তমান মূল্য কত?=৭২০ টাকা
৪৭. একজন ব্যটসম্যান প্রথম তিনটি
T-20 খেলায় ৮২, ৮৫ ও ৯২ রান করেন। চতুর্থ খেলায় কত রান করলে তাঁর গড় রান ৮৭ হবে?=৮৯
৪৮. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা
২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩,৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকে।=১২
৪৯. একটি সংখ্যার ১২% নিলে ৯৬
পাওয়া যায়, সংখ্যাটি কত?=৮০০
৫০. দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার
বর্গের অন্তর ৮ ও গুনফল ৩, সংখ্যা দুইটির বর্গের সমষ্টি কত?=১০
৫১. দুটি সংখ্যার গুনফল ১৫৩৬।
সংখ্যা দুইটির লসাগু ৯৬ হলে গসাগু কত?=১৬
৫২. মুল বিন্দু হতে
(-5,5) এবং (5,k) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান হলে k এর মান কত?=5
৫৩. একটি বর্গাকার বাগানের
ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গমিটার। এর চারিদিকে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত?=১৮০ মিটার
৫৪. কোন সংখ্যার ৩৭% হ্রাস পেলে
৩/৮ হয় ?=২৫/৪২
৫৫. তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার
যোগফল ৫৭। মধ্যম সংখ্যাটি কত?=১৯
৫৬.দুইটি সংখ্যার অন্তর ১২।
বড়টির সঙ্গে ১ যোগ করলে ছোটটির দ্বিগুণ হয় । সংখ্যা দুইটি কত?=২৫, ১৩
৫৭.কত জনের মধ্যে ১২৫ টি কমলা ও
১৪৫ টি কলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?=৫ জন
৫৮.৯০ কোন সংখ্যার ৭৫%?=১২০
৫৯. ক্রয়মুল্য ঃ বিক্রয়মুল্য =
৫ঃ৬, লাভ কত?=২০%
৬০.log264 + log28 এর মান কত?=9
৬১. a/b + b/a = 6 হলে a2/b2 +
b2/ a2 + 2 এর মান কত?=36
৬২. log53√5
= ?=1/3
৬৩. 9x+2 = 81 হলে x = ?=0
৬৪. ২৫ থেকে ৫৫ এর মধ্যে মৌলিক
সংখ্যা কয়টি ?=৭ টি
৬৫. কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে
বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহি:স্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত হবে? ৩৬০ ডিগ্রি
৬৬. দুইটি বৃত্তের ব্যাসের
অনুপাত 3:2 হলে; বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? Ans: 9:4
৬৭.১৩ সে.মি. ব্যাসার্ধের
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
Ans: 24 সেমি
৬৮.একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর
দৈর্ঘ্য a হলে, ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে-Ans: (√3/4)
a2
৬৯.একটি সমকোণী ত্রিভুজের
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6 ডিগ্রি হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত? Ans: 42
৭০.একটি বর্গের প্রতিটি ক্ষেত্রের
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করা হলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি
পাবে?Ans: 21%
৭১. দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু a এবং
গ.সা.গু b । একটি সংখ্যা c হলে, অপরটি –Ans: ab/c
৭২.একটি লেবু ৪ টাকায় কিনে ৫
টাকায় বিক্রি করলে লাভ –Ans: ২৫%
৭৩ ১০০ টাকা ৫ বছরের সুদে-আসলে ২০০
টাকা হলে, সুদের হার –Ans: ২০%
৭৪. নিচের কোন ভগ্নাংশটি ২/৩
থেকে ছোট ? Ans: ৩/৫
৭৫.১৫ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে
করলে, ঐ কাজটি ১ দিনে করতে লোক লাগবে –Ans: ৩০০ জন।
৭৬.৩ বছর পূর্বে মা এবং মেয়ের
বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল। ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত –Ans: ৭ঃ২
৭৭.একটি সংখ্যার ৫ গুণের সাথে
তার বর্গ বিয়োগ করলে এবং ৬ বিয়োগ করলে যোগফল শূন্য হয়। সংখ্যাটি –Ans: ২
অথবা ৩
৭৮.প্রথম দশটি স্বাভাবিক সংখ্যার
গড় –Ans: ৫.৫০
৭৯. সমকোণী ত্রিভুজের অপর
কোণদ্বয় –Ans: 55^0, 35^0
৮০. একটি ত্রিভুজের কোণগুলির
অনুপাত ২ঃ৩ঃ৫। এর বৃহত্তম কোণটি –Ans: 900
৮১. ABCD সামান্তরিকের AB = 12
সে.মি এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্ব-দূরত্ব 6 সে.মি ।সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল –Ans:
৭২ বর্গ সে.মি
৮২. সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর
দৈর্ঘ্য 2√3 একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
–Ans: 3√3 বর্গ একক
৮৩. বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি
করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে –Ans: ৯
৮৪. ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে
চক্রাকারে বর্ধিত করলে উতপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির যোগফল –Ans: 3600
৮৫.সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে
যে কোন মূলধন ৮ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে : ২৫ টাকা।
৮৬.পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে : ১৫ (২৯ তম BCS)
৮৭.পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত : ১ (২৯ তম BCS)
৮৮.দুই ব্যক্তি একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একাকী কাজটি ১২ দিনে করতে পারে।দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি কত দিনে করতে পারবে : ২৪ দিনে (১৬ তম BCS)
৮৬.পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে : ১৫ (২৯ তম BCS)
৮৭.পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত : ১ (২৯ তম BCS)
৮৮.দুই ব্যক্তি একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একাকী কাজটি ১২ দিনে করতে পারে।দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি কত দিনে করতে পারবে : ২৪ দিনে (১৬ তম BCS)
৮৯.x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x – y)
এর বর্গের মান : 9 (২৪ তম BCS)
৯০.x+ y= 12 এবং x- y = 8 হলে xyএর মান : 20
৯১.যদি মাসের প্রথম দিন সোমবার হয় তবে ১২তম দিন কি বার হবে : শুক্রবার।
৯২.দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি : ১০০
৯৩.ঘড়িতে ৪টা বাজার সময়ে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা পরস্পর যে কোণ তৈরি করে তা হলো : ১২০ ডিগ্রী
৯৪.একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ৮ কি. মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কি. মি. যায়। নৌকার বেগ এবং স্রোতের বেগ : ৬ কি. মি. এবং ২ কি. মি.।
৯০.x+ y= 12 এবং x- y = 8 হলে xyএর মান : 20
৯১.যদি মাসের প্রথম দিন সোমবার হয় তবে ১২তম দিন কি বার হবে : শুক্রবার।
৯২.দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি : ১০০
৯৩.ঘড়িতে ৪টা বাজার সময়ে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা পরস্পর যে কোণ তৈরি করে তা হলো : ১২০ ডিগ্রী
৯৪.একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ৮ কি. মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কি. মি. যায়। নৌকার বেগ এবং স্রোতের বেগ : ৬ কি. মি. এবং ২ কি. মি.।
৯৫.একটি শ্রেণীতে ৩০ জন ছাত্র আছে।
তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে ও ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কত জন
উভয়টি খেলে : ৭ জন।
৯৬.৫ + ১১ + ১৯ + ২৯ + ……………. পরের সংখ্যাটি : ৪১
৯৭. ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল : ৫০৫০
৯৮.কোন সংখ্যার ৬ গুণ হতে ১৫ গুণ ৬৩ বেশি : ৭।
৯৯.ABCD রম্বস এর A কোন = ৬০ ডিগ্রী হলে D কোন : ১২০ ডিগ্রী।
১০০.একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৬ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য : ১২ মিটার।
১০১.একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০০ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার : ১০,০০০ বর্গ মিটার।
৯৬.৫ + ১১ + ১৯ + ২৯ + ……………. পরের সংখ্যাটি : ৪১
৯৭. ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল : ৫০৫০
৯৮.কোন সংখ্যার ৬ গুণ হতে ১৫ গুণ ৬৩ বেশি : ৭।
৯৯.ABCD রম্বস এর A কোন = ৬০ ডিগ্রী হলে D কোন : ১২০ ডিগ্রী।
১০০.একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৬ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য : ১২ মিটার।
১০১.একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০০ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার : ১০,০০০ বর্গ মিটার।
১০২.দুটি সংখ্যার যোগফল ১৫ এবং
বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি : ১।
১০৩. তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ৫৭, মধ্যম সংখ্যাটি : ১৯
১০৪. ৫০ এর পূর্বে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে : ১৫টি।
১০৫. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা ও মাতার বয়সের গড় : ৪০
১০৬. দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ : ৩ হয়। সংখ্যা দুটি : ১০ ও ১৬
১০৭ ৯৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে : ২১
১০৮.একটি সংখ্যার তিন গুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি : ১৮
১০৩. তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ৫৭, মধ্যম সংখ্যাটি : ১৯
১০৪. ৫০ এর পূর্বে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে : ১৫টি।
১০৫. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা ও মাতার বয়সের গড় : ৪০
১০৬. দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ : ৩ হয়। সংখ্যা দুটি : ১০ ও ১৬
১০৭ ৯৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে : ২১
১০৮.একটি সংখ্যার তিন গুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি : ১৮
১০৯.সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে
যে কোন মূলধন ৮ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে : ২৫ টাকা।
১১০. পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে : ১৫ (২৯ তম BCS)
১১১.পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত : ১ (২৯ তম BCS)
১১২.দুই ব্যক্তি একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একাকী কাজটি ১২ দিনে করতে পারে।দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি কত দিনে করতে পারবে : ২৪ দিনে (১৬ তম BCS)
১১০. পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে : ১৫ (২৯ তম BCS)
১১১.পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত : ১ (২৯ তম BCS)
১১২.দুই ব্যক্তি একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একাকী কাজটি ১২ দিনে করতে পারে।দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি কত দিনে করতে পারবে : ২৪ দিনে (১৬ তম BCS)
১১৩. x + y = 7 এবং xy = 10 হলে
(x – y) এর বর্গের মান : 9 (২৪ তম BCS)
১১৪.x+ y= 12 এবং x- y = 8 হলে xyএর মান : 20
১১৫. যদি মাসের প্রথম দিন সোমবার হয় তবে ১২তম দিন কি বার হবে : শুক্রবার।
১১৬.দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি : ১০০
১১৭. ঘড়িতে ৪টা বাজার সময়ে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা পরস্পর যে কোণ তৈরি করে তা হলো : ১২০ ডিগ্রী
১১৮. একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ৮ কি. মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কি. মি. যায়। নৌকার বেগ এবং স্রোতের বেগ : ৬ কি. মি. এবং ২ কি. মি.।
১১৪.x+ y= 12 এবং x- y = 8 হলে xyএর মান : 20
১১৫. যদি মাসের প্রথম দিন সোমবার হয় তবে ১২তম দিন কি বার হবে : শুক্রবার।
১১৬.দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি : ১০০
১১৭. ঘড়িতে ৪টা বাজার সময়ে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা পরস্পর যে কোণ তৈরি করে তা হলো : ১২০ ডিগ্রী
১১৮. একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ৮ কি. মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কি. মি. যায়। নৌকার বেগ এবং স্রোতের বেগ : ৬ কি. মি. এবং ২ কি. মি.।
১১৯. একটি শ্রেণীতে ৩০ জন ছাত্র
আছে। তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে ও ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না।
কত জন উভয়টি খেলে : ৭ জন।
১২০. ৫ + ১১ + ১৯ + ২৯ + ……………. পরের সংখ্যাটি : ৪১
১২১. ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল : ৫০৫০
১২২.কোন সংখ্যার ৬ গুণ হতে ১৫ গুণ ৬৩ বেশি : ৭।
১২৩. ABCD রম্বস এর A কোন = ৬০ ডিগ্রী হলে D কোন : ১২০ ডিগ্রী।
১২৪. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৬ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য : ১২ মিটার।
১২৫. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০০ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার : ১০,০০০ বর্গ মিটার।
১২০. ৫ + ১১ + ১৯ + ২৯ + ……………. পরের সংখ্যাটি : ৪১
১২১. ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল : ৫০৫০
১২২.কোন সংখ্যার ৬ গুণ হতে ১৫ গুণ ৬৩ বেশি : ৭।
১২৩. ABCD রম্বস এর A কোন = ৬০ ডিগ্রী হলে D কোন : ১২০ ডিগ্রী।
১২৪. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৬ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য : ১২ মিটার।
১২৫. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০০ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার : ১০,০০০ বর্গ মিটার।
১২৬. দুটি সংখ্যার যোগফল ১৫ এবং
বিয়োগফল ১৩, ছোট সংখ্যাটি : ১।
১২৭. তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ৫৭, মধ্যম সংখ্যাটি : ১৯
১২৮. ৫০ এর পূর্বে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে : ১৫টি।
১২৯. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা ও মাতার বয়সের গড় : ৪০
১৩০. দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ : ৩ হয়। সংখ্যা দুটি : ১০ ও ১৬
১৩১. ৯৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে : ২১
১৩২.একটি সংখ্যার তিন গুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি : ১৮
১২৭. তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ৫৭, মধ্যম সংখ্যাটি : ১৯
১২৮. ৫০ এর পূর্বে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে : ১৫টি।
১২৯. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা ও মাতার বয়সের গড় : ৪০
১৩০. দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ : ৩ হয়। সংখ্যা দুটি : ১০ ও ১৬
১৩১. ৯৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে : ২১
১৩২.একটি সংখ্যার তিন গুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি : ১৮
সাধারণ জ্ঞান : গণিতের প্রাথমিক ধারণা
১. প্রশ্ন : গণিতের আদি ভূমি কোথায়? উত্তর : মিশর, ভারতবর্ষ, ব্যাবিলন।
২. প্রশ্ন : ‘০’ সংখ্যাটির জনক কে? উত্তর : আর্যভট্ট।
৩. প্রশ্ন : ‘০’ সংখ্যাটির উৎপত্তি কোথায়? উত্তর : ভারতীয় উপমহাদেশে।
৪. প্রশ্ন : আর্যভট্ট কে ছিলেন? উত্তর : পাটিগণিতের জনক।
৫. প্রশ্ন : বীজগণিতের জনক কে? উত্তর : মুহম্মদ ইবনে মুসা আল খাওয়ারিজমী।
৬. প্রশ্ন : জ্যামিতির জনক কে? উত্তর : ইউক্লিড।
৭. প্রশ্ন : ইউক্লিডের বইটির নাম কী? উত্তর : The elements.
৮. প্রশ্ন : The elements বইটি কত খণ্ডে রচিত? উত্তর : ১৩ খণ্ডে।
৯. প্রশ্ন : বলবিদ্যার জনক কে? উত্তর : নিউটন।
১০. প্রশ্ন : সেটতত্ত্বের জনক কে? উত্তর : ফিলিপ ক্যান্টর।
১১. প্রশ্ন : গণিতে লগারিদমের জনক কে? উত্তর : জন নেপিয়ার।
১২. প্রশ্ন : অঙ্ক কত প্রকার? উত্তর : দুই প্রকার।
১৩. প্রশ্ন : অঙ্ক কী কী? উত্তর : সার্থক অঙ্ক এবং সাহায্যকারী অঙ্ক।
১৪. প্রশ্ন : সার্থক অঙ্ক কোনগুলো? উত্তর : ১ থেকে ৯ পর্যন্ত।
১৫. প্রশ্ন : সাহায্যকারী অঙ্ক কোনটি? উত্তর : ০ (শূন্য)।
১৬. প্রশ্ন : সার্থক অঙ্কের ধারণা দেন কারা? উত্তর : আরবীয়রা
১৭. প্রশ্ন : আরবীয় বলতে কাদের বোঝানো হয়েছে? উত্তর : মিশর, ব্যাবিলন।
১৮. প্রশ্ন : মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল কেমন? উত্তর : সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।
১৯. প্রশ্ন : ১-১০০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়? উত্তর : ২৫টি।
২০. প্রশ্ন : মৌলিক সংখ্যাগুলো কোথায় কয়টি পাওয়া যায়?
উত্তর : ০-১০ পর্যন্ত ৪টি, ১১-২০ পর্যন্ত ৪টি, ২১-৩০ পর্যন্ত ২টি, ৩১-৪০ পর্যন্ত ২টি, ৪১-৫০ পর্যন্ত ৩টি, ৫১-৬০ পর্যন্ত ২টি, ৬১-৭০ পর্যন্ত ২টি, ৭১-৮০ পর্যন্ত ৩টি, ৮১-৯০ পর্যন্ত ২টি, ৯১-১০০ পর্যন্ত ১টি।
২. প্রশ্ন : ‘০’ সংখ্যাটির জনক কে? উত্তর : আর্যভট্ট।
৩. প্রশ্ন : ‘০’ সংখ্যাটির উৎপত্তি কোথায়? উত্তর : ভারতীয় উপমহাদেশে।
৪. প্রশ্ন : আর্যভট্ট কে ছিলেন? উত্তর : পাটিগণিতের জনক।
৫. প্রশ্ন : বীজগণিতের জনক কে? উত্তর : মুহম্মদ ইবনে মুসা আল খাওয়ারিজমী।
৬. প্রশ্ন : জ্যামিতির জনক কে? উত্তর : ইউক্লিড।
৭. প্রশ্ন : ইউক্লিডের বইটির নাম কী? উত্তর : The elements.
৮. প্রশ্ন : The elements বইটি কত খণ্ডে রচিত? উত্তর : ১৩ খণ্ডে।
৯. প্রশ্ন : বলবিদ্যার জনক কে? উত্তর : নিউটন।
১০. প্রশ্ন : সেটতত্ত্বের জনক কে? উত্তর : ফিলিপ ক্যান্টর।
১১. প্রশ্ন : গণিতে লগারিদমের জনক কে? উত্তর : জন নেপিয়ার।
১২. প্রশ্ন : অঙ্ক কত প্রকার? উত্তর : দুই প্রকার।
১৩. প্রশ্ন : অঙ্ক কী কী? উত্তর : সার্থক অঙ্ক এবং সাহায্যকারী অঙ্ক।
১৪. প্রশ্ন : সার্থক অঙ্ক কোনগুলো? উত্তর : ১ থেকে ৯ পর্যন্ত।
১৫. প্রশ্ন : সাহায্যকারী অঙ্ক কোনটি? উত্তর : ০ (শূন্য)।
১৬. প্রশ্ন : সার্থক অঙ্কের ধারণা দেন কারা? উত্তর : আরবীয়রা
১৭. প্রশ্ন : আরবীয় বলতে কাদের বোঝানো হয়েছে? উত্তর : মিশর, ব্যাবিলন।
১৮. প্রশ্ন : মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল কেমন? উত্তর : সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।
১৯. প্রশ্ন : ১-১০০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়? উত্তর : ২৫টি।
২০. প্রশ্ন : মৌলিক সংখ্যাগুলো কোথায় কয়টি পাওয়া যায়?
উত্তর : ০-১০ পর্যন্ত ৪টি, ১১-২০ পর্যন্ত ৪টি, ২১-৩০ পর্যন্ত ২টি, ৩১-৪০ পর্যন্ত ২টি, ৪১-৫০ পর্যন্ত ৩টি, ৫১-৬০ পর্যন্ত ২টি, ৬১-৭০ পর্যন্ত ২টি, ৭১-৮০ পর্যন্ত ৩টি, ৮১-৯০ পর্যন্ত ২টি, ৯১-১০০ পর্যন্ত ১টি।
গণিত শিক্ষা (বয়স
ভিত্তিক): পার্ট-০১
১। সোনিয়া ও লিনিয়ার বর্তমান বয়সের
সমষ্টি ১৬ বছর। ৪ বছর পরে সোনিয়ার বয়স লিনিয়ার ৩ গুণ হলে, সোনিয়ার বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
সোনিয়ার বর্তমান বয়স= ক বছর।
লিনিয়ার বর্তমান বয়স= (১৬-ক) বছর।
৪ বছর পর সোনিয়ার বয়স= (ক+৪) বছর।
৪ বছর পর লিনিয়ার বয়স= (১৬-ক+৪) বছর=
(২০-ক) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৪ = ৩(২০-ক)
বা, ক+৪= ৬০-৩ক
বা, ক+৩ক= ৬০-৪
বা, ৪ক= ৫৬
বা, ক=
বা, ক= ১৪
ক= ১৪
সুতারাং সোনিয়ার বর্তমান বয়স= ১৪ বছর।
উত্তর: সোনিয়ার বর্তমান বয়স ১৪ বছর।
২। জাবেদ
তার স্ত্রী ইয়াসমিন থেকে ৭ বছরের বড়। ইয়াসমিনের বয়স তার কন্যার বয়সের ৭ গুণ। যদি
কন্যার বয়স ৪ বছর পরে ৭ বছর হয় তবে জাবেদের বয়স কত?
সমাধানঃ
কন্যার বর্তমান বয়স= (৭-৪) বছর= ৩
বছর।
ইয়াসমিনের বর্তমান বয়স= (৩×৭) বছর= ২১
বছর।
জাবেদের বর্তমান বয়স= (২১+৭) বছর= ২৮
বছর।
উত্তর: জাবেদের বয়স ২৮ বছর।
৩। জাফরের
বয়স ‘ক’ বছর। মঈন জাফরের চেয়ে ৫ বছরের ছোট কিন্তু আরিফের চেয়ে ৩ বছরের বড়। তাদের
তিনজনের বয়সের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
জাফরের বয়স= ক বছর।
মঈনের বয়স= (ক-৫) বছর।
আরিফের বয়স=(ক-৫-৩) বছর= ক-৮ বছর।
মোট তিনজনের বয়সের সমষ্টি=(ক+ক-৫+ক-৮)
বছর= ৩ক-১৩ বছর।
উত্তর: তিনজনের বয়সের সমষ্টি ৩ক-১৩ বছর।
৪। করিমের
বয়স মোমেনের বয়সের ৩ গুণ অপেক্ষা ৪ বছর কম। মোমেনের বয়স যদি h হয়, তবে করিমের বয়স
কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
মোমেনের বয়স h বছর।
করিমের বয়স= মোমেনের বয়সের ৩ গুণ
অপেক্ষা ৪ কম অর্থাৎ (৩h-৪) বছর।
উত্তর: করিমের বয়স ৩h-৪ বছর।
৫। এক
ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়। তার স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ। ৫ বছর
পর ছেলের বয়স ১২ বছর হলে বর্তমানে ঐ ব্যক্তির বয়স কত?
সমাধানঃ
ছেলের বর্তমান বয়স= (১২-৫) বছর= ৭
বছর।
স্ত্রীর বর্তমান বয়স= (৭×৪) বছর= ২৮
বছর।
বর্তমানে ঐ ব্যক্তির বয়স= (২৮+৫) বছর=
৩৩ বছর।
উত্তর: বর্তমানে ঐ ব্যক্তির বয়স ৩৩ বছর।
৬। লিমা
রিমার চেয়ে ১০ বছরের বড়। ৭ বছর পর লিমার বয়স রিমার ২ গুণ হবে। লিমার বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
লিমার বর্তমান বয়স= ক বছর।
রিমার বর্তমান বয়স= (ক-১০) বছর।
৭ বছর পর লিমার বয়স= (ক +৭) বছর।
৭ বছর পর রিমার বয়স= (ক-১০+৭) বছর=
(ক-৩) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৭= ২(ক-৩)
বা, ক+৭= ২ক-৬
বা, ক-২ক= -৬-৭
বা, -ক= -১৩
ক= ১৩
নির্ণেয় লিমার বর্তমান বয়স= ১৩ বছর।
উত্তর: লিমার বর্তমান বয়স ১৩ বছর।
৭। আব্দুল
করিম আবদুর রহিমের চাইতে ৩ বছরের ছোট। আফজালের বয়স আব্দুল করিমের থেকে ২ বছর কম।
মুমিনের বয়স ৫ তখন আব্দুল করিম জন্মেছে। তাদের মধ্যে জ্যেষ্ঠতমের বয়স ৫২ হলে
আফজালের বয়স কত?
সমাধানঃ
আফজালের বয়স= ক বছর।
আব্দুল করিমের বয়স= (ক+২) বছর।
আব্দুল রহিমের বয়স= (ক+২+৩) বছর=
(ক+৫) বছর।
মুমিনের বয়স= (ক+২+৫) বছর= (ক+৭) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৭= ৫২
বা, ক= ৫২-৭
বা, ক= ৪৫
ক= ৪৫
নির্ণেয় আফজালের বয়স= ৪৫ বছর।
উত্তর: আফজালের বয়স ৪৫ বছর।
৮। রহিমের
বয়স ১২ বছর। রহিমের বয়স করিমের বয়সের ৩ গুণ। যখন রহিমের বয়স করিমের বয়সের দ্বিগুণ
হবে, তখন রহিমের বয়স কত হবে?
সমাধানঃ
করিমের বর্তমান বয়স= বছর= ৪
বছর।
ধরি,
যখন করিমের বয়স ক বছর তখন রহিমের বয়স
হবে দ্বিগুণ বছর।
প্রশ্নমতে,
১২+ক = ২(৪+ক)
বা, ১২ + ক = ৮ + ২ক
বা, ক -২ক = ৮ -১২
বা, -ক = -৪
বা, ক = ৪
ক = ৪
নির্ণেয় রহিমের বয়স= (১২+ক) বছর=
(১২+৪) বছর= ১৬ বছর।
উত্তর: রহিমের বয়স ১৬ বছর।
৯। ‘ক’,
‘খ’, ‘গ’ এর গড় বয়স ৪০ বছর, ‘ক’ ও ‘গ’ এর বয়স একত্রে ৮৫ বছর ‘খ’ এর বয়স হবে কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
‘ক’, ‘খ’, ‘গ’ এর মোট বয়সের সমষ্টি=
১২০ বছর।
‘ক’ ও ‘গ’ এর মোট বয়সের সমষ্টি= ৮৫
বছর।
সুতারাং ‘খ’ এর বয়স= (১২০-৮৫) বছর= ৩৫
বছর।
উত্তর: ‘খ’ এর বয়স ৩৫ বছর।
১০। বর্তমানে,
M N এর চেয়ে ১৪ বছরের বড়। ১০ বছর পর, M এর বয়স N এর বয়সের দ্বিগুণ হবে। ৫ বছর পর,
M এর বয়স কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
M এর বর্তমান বয়স= ক বছর।
N এর বর্তমান বয়স= (ক+১৪) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক+১৪)+১০= ২(ক+১০)
বা, ক+২৪= ২ক+২০
বা, ক-২ক= ২০-২৪
বা, -ক= -৪
বা, ক= ৪
ক= ৪
৫ বছর পর M এর বয়স= (ক+১৪)+৫ বছর=
(৪+১৪+৫) বছর= ২৩ বছর।
উত্তর: M
এর বয়স ২৩ বছর।
১১। s
বছর পূর্বে এক ব্যক্তি বয়স ছিল r। t বছর পর ঐ ব্যক্তির বয়স কত হবে?
সমাধানঃ
S বছর পূর্বে ব্যক্তির বয়স ছিল= r
বছর।
বর্তমানে ব্যক্তির বয়স= (r+s) বছর।
T বছর পর ঐ ব্যক্তির বয়স হবে= (r+s)+t
বছর= (r+s+t) বছর।
উত্তর: ঐ ব্যক্তির বয়স হবে (r+s+t) বছর।
১২। x
বছর পর সুজনের বয়স হবে y। z বছর পর সুজনের বয়স কত হবে?
সমাধানঃ
বর্তমানে সুজনের বয়স= (y-x) বছর।
z বছর পর সুজনের বয়স হবে= (y-x)+z
বছর= (y-x+z) বছর।
উত্তর: সুজনের
বয়স হবে (y-x+z) বছর।
১৩। ৫
বছর পূর্বে পিতার ও পুত্রের বয়সের যোগফল ছিল ৬০ বছর। বর্তমানে পুত্রের বয়স ২০ হলে
পিতার বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
বর্তমানে পুত্রের বয়স= ২০ বছর।
৫ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (২০-৫)
বছর= ১৫ বছর।
৫ বছর পূর্বে পিতার বয়স= (৬০-১৫) বছর=
৪৫ বছর।
সুতারাং পিতার বর্তমান বয়স= (৪৫+৫)
বছর= ৫০ বছর।
উত্তর: পিতার বর্তমান বয়স ৫০ বছর।
১৪। বাবা
ও মেয়ের বয়সের যোগফল ৪৩ বছর। ৪ বছর আগে বাবার বয়স মেয়ের বয়সের ৬ গুণ ছিল। বাবা ও
মেয়ের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
৪ বছর আগে মেয়ের বয়স= ক বছর।
৪ বছর আগের বাবার বয়স= ৬ক বছর।
মেয়ের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর।
বাবার বর্তমান বয়স= (৬ক+৪) বছর।
প্রশ্নমতে, (৬ক+৪)+ (ক+৪)= ৪৩
বা, ৬ক+৪+ক+৪= ৪৩
বা, ৭ক+৮= ৪৩
বা, ৭ক= ৪৩-৮
বা, ৭ক= ৩৫
বা, ক=
বা, ক = ৫
ক = ৫
মেয়ের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর=(৫+৪)
বছর= ৯ বছর।
বাবার বর্তমান বয়স= (৬ক+৪)
বছর=(৬×৫)+৪ বছর= (৩০+৪) বছর= ৩৪ বছর।
উত্তর: বাবা ও মেয়ের বর্তমান বয়স যথাক্রমে ৩৪ এবং ৯ বছর।
১৫। পিতার
ও পুত্রের বয়সের যোগফল ১২০ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
পিতার বয়স= ৩ক বছর।
প্রশ্নমতে,
৩ক+ক= ১২০
বা, ৪ক= ১২০
বা, ক=
বা, ক= ৩০
ক= ৩০
সুতারাং পিতার বয়স= ৩ক বছর=(৩×৩০)
বছর= ৯০ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৯০ বছর।
১৬। পিতার
ও পুত্রের বয়সের যোগফল ১২০ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ২ গুণ। পুত্রের বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
পিতার বয়স= ২ক বছর।
প্রশ্নমতে,
২ক+ক= ১২০
বা, ৩ক= ১২০
বা, ক=
বা, ক= ৪০
ক= ৪০
সুতারাং পুত্রের বয়স= ক বছর= ৪০ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ৪০ বছর।
১৭। পিতার
ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৯০ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ২ গুণ। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
পিতার বয়স= ২ক বছর।
প্রশ্নমতে,
২ক+ক= ৯০
বা, ৩ক= ৯০
বা, ক=
বা, ক= ৩০
ক= ৩০
সুতারাং পিতার বয়স= ২ক বছর=(২×৩০)
বছর= ৬০ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৬০ বছর।
১৮। পিতার
ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭২ বছর, পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ, পুত্রের বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
পিতার বয়স= ৩ক বছর।
প্রশ্নমতে,
৩ক+ক= ৭২
বা, ৪ক= ৭২
বা, ক=
বা, ক= ১৮
ক= ১৮
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= ক বছর= ১৮ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ১৮ বছর।
১৯। পিতা
ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৪২ বছর এবং অন্তর ২২ বছর। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+২২) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক + ক + ২২ = ৪২
বা, ২ক = ৪২-২২
বা, ২ক = ২০
বা, ক =
বা, ক = ১০
ক = ১০
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= ক বছর= ১০ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ১০ বছর।
২০। পিতার
২৫ বছর বয়সে পুত্রের জন্ম হয়। পিতার কত বছর বয়সে তার বয়স পুত্রের দ্বিগুণ হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স যখন ক বছর তখন তা পুত্রের
বয়সের দ্বিগুণ।
পিতার বয়স ক হলে পুত্রের বয়স হবে=
(ক-২৫) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক= ২(ক-২৫)
বা, ক= ২ক-৫০
বা, ক-২ক= -৫০
বা, -ক = -৫০
বা, ক = ৫০
ক = ৫০
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৫০ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫০ বছর।
২১। পিতার
বয়স পুত্রের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ বছর বেশি। পিতার বয়স ৬২ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
পিতার বয়স= (২ক+২) বছর।
প্রশ্নমতে, ২ক+২=৬২
বা, ২ক= ৬২-২
বা, ২ক= ৬০
বা, ক=
বা, ক = ৩০
ক = ৩০
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= ক বছর= ৩০ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ৩০ বছর।
২২। পিতার
বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ। ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ১০ গুণ
ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমা্ন বয়স= ৪ক বছর।
৬ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল= (ক-৬)
বছর।
৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল= (৪ক-৬)
বছর।
প্রশ্নমতে,
১০(ক-৬)= ৪ক-৬
বা, ১০ক-৬০= ৪ক-৬
বা, ১০ক-৪ক= -৬+৬০
বা, ৬ক= ৫৪
বা, ক=
বা, ক = ৯
ক = ৯
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর= ৯ বছর।
পিতার বর্তমা্ন বয়স= ৪ক বছর= (৪×৯)
বছর= ৩৬ বছর।
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স হল ৩৬ ও ৯ বছর।
২৩। পিতার
বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ। ৫ বছর আগে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ ছিল।
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমা্ন বয়স= ৩ক বছর।
৫ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল= (ক-৫)
বছর।
৫ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল= (৩ক-৫)
বছর।
প্রশ্নমতে,
৪(ক-৫)= ৩ক-৫
বা, ৪ক-২০= ৩ক-৫
বা, ৪ক-৩ক= -৫+২০
বা, ক= ১৫
ক = ১৫
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর= ১৫ বছর।
পিতার বর্তমা্ন বয়স= ৩ক বছর= (৩×১৫)
বছর= ৪৫ বছর।
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স হল ৪৫ ও ১৫ বছর।
২৪। পিতার বয়স পুত্রের
বয়সের ৪ গুণ। ৫ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= ৪ক বছর।
৫ বছর পর পুত্রের বয়স= (ক+৫) বছর।
৫ বছর পর পিতার বয়স= (৪ক+৫) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৫+৪ক+৫= ৬০
বা, ৫ক+১০= ৬০
বা, ৫ক= ৬০-১০
বা, ৫ক= ৫০
বা, ক=
বা, ক= ১০
ক = ১০
নির্ণেয় পিতার বর্তমান বয়স= ৪ক বছর=
(৪×১০) বছর= ৪০ বছর।
উত্তর: পিতার বর্তমান বয়স ৪০ বছর।
গণিত শিক্ষা (বয়স ভিত্তিক): পার্ট-০২
২৫। পিতা পুত্রের চেয়ে ৩২ বছরের বড়। ৭ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ২
গুণ অপেক্ষা ৫ বছর বেশি হবে। ৩ বছর পর পিতার বয়স কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর।
৭ বছর পর পুত্রের বয়স= (ক+৭) বছর।
৭ বছর পর পিতার বয়স= (ক+৩২)+৭ বছর=
(ক+৩২+৭) বছর= (ক+৩৯) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৩৯= ২(ক+৭)+৫
বা, ক+৩৯= ২ক+১৪+৫
বা, ক-২ক= ১৯-৩৯
বা, -ক= -২০
বা, ক= ২০
ক = ২০
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২)
বছর=(২০+৩২) বছর= ৫২ বছর।
৩ বছর পর পিতার বয়স=(৫২+৩) বছর= ৫৫
বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫৫ বছর।
২৬। দুই
বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ। দুই বছর বাদে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের
চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে বাবা ও তার পুত্রে বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর।
প্রশ্নমতে,
১৪ (ক-২) = ক + ২৬ -২
বা, ১৪ক – ২৮ = ক + ২৪
বা, ১৪ক – ক = ২৪ + ২৮
বা, ১৩ক = ৫২
বা, ক = ৫২÷১৩
বা, ক = ৪
ক = ৪
পুত্রের বয়স= ক বছর= ৪ বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর= (৪ + ২৬)
বছর= ৩০ বছর।
নির্ণেয় বাবার ও পুত্রের বয়সের
অনুপাত= ৩০ : ৪ = ১৫ : ২
উত্তর: বাবার
ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৫ : ২
২৭। পিতার
ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর; যখন পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান
হবে তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে ১০২ বছর। পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= খ বছর।
যখন পুত্রের বয়স ক হবে তখন পিতার বয়স
হবে= {ক+(ক-খ)} বছর।
১ম শর্তমতে,
ক+খ=৫০……………………(১)
২য় শর্তমতে,
ক + {ক+ (ক-খ)} = ১০২
বা, ক+ক+ক-খ= ১০২
বা, ৩ক-খ= ১০২
৩ক-খ= ১০২………………….(২)
(১) নং ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই-
ক + খ = ৫০
৩ক –খ = ১০২
৪ক = ১৫২
বা, ক= ১৫২÷৪
ক= ৩৮
(১) নং সমীকরণে ক এর মান বসিয়ে পাই-
ক+খ= ৫০
বা, ৩৮+খ= ৫০
বা, খ= ৫০-৩৮
বা, খ= ১২
খ = ১২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৩৮ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= খ বছর= ১২ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৩৮ বছর ও পুত্রের বয়স ১২ বছর।
২৮। পিতা,
মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স
কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি=
(৩৭×৩) বছর= ১১১ বছর।
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৫×২)
বছর= ৭০ বছর।
নির্ণেয় মাতার বয়স= (১১১-৭০) বছর= ৪১
বছর।
উত্তর: মাতার বয়স ৪১ বছর।
২৯। পিতা
ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২০ বছর হলে পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি=
(২৭×৩) বছর= ৮১ বছর।
দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২০×২)
বছর= ৪০ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৮১-৪০) বছর= ৪১
বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪১ বছর।
৩০। পিতা
ও দুই পুত্রের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি=
(৩০×৩) বছর= ৯০ বছর।
দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (২০×২)
বছর= ৪০ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৯০-৪০) বছর= ৫০
বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫০ বছর।
৩১। পিতা
ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের
বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের
সমষ্টি= (৩৬×৩) বছর= ১০৮ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৪৫×২)
বছর= ৯০ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (১০৮-৯০) বছর=
১৮ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ১৮ বছর।
৩২। পিতা
ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা
ও মাতার গড় বয়স কত?
সমাধানঃ
মাতার বয়স যেহেতু পুত্রের বয়স অপেক্ষা
২০ বছর বেশি।
সুতারাং পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি=
(৬০+২০) বছর= ৮০ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের গড় = ৪০ বছর।
নির্নেয় পিতা ও মাতার গড় বয়স= ৪০ বছর।
উত্তর: পিতা ও মাতার গড় বয়স ৪০ বছর।
৩৩। পাঁচ
সন্তানের বয়সের গড় ৭ বছর এবং পিতাসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (৭×৫)
বছর= ৩৫ বছর।
পিতাসহ পাঁচ সন্তান বা ৬ জনের
বয়সের সমষ্টি= (১৩×৬) বছর= ৭৮ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৭৮-৩৫)=৪৩
বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৩ বছর।
৩৪। ৫
জন বালকের বয়সের গড় ১০ বছর। ঐ গলে আরও দুজন বালক যোগ দিলে তাদের সকলের বয়সের গড় হয়
১২ বছর। যোগদানকারী বালক দুটি যদি সমবয়সী হয় তবে তাদের প্রত্যেকের বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১০×৫)
বছর= ৫০ বছর।
(৫+২) বা ৭ জন বালকের বয়সের সমষ্টি=
(১২×৭) বছর= ৮৪ বছর।
যোগদানকারী বালকের বয়সের সমষ্টি=
(৮৪-৫০) বছর= ৩৪ বছর।
যোগদানকারী প্রত্যেক বালকের
বয়স= বছর= ১৭ বছর।
উত্তর: প্রত্যেক বালকের বয়স ১৭ বছর।
৩৫। পিতা
ও পুত্রের বর্তমান বয়স একত্রে ৮০ বছর। ৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৫ গুণ
ছিল। তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত কত?
সমাধানঃ
৪ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর।
৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স= ৫ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক+৪)+(৫ক+৪)=৮০
বা, ক+৪+৫ক+৪=৮০
বা, ৬ক+৮=৮০
বা, ৬ক= ৮০-৮
বা, ৬ক= ৭২
বা, ক= ৭২÷৬
বা, ক= ১২
ক= ১২
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪)
বছর=(৫×১২+৪)বছর=(৬০+৪) বছর= ৬৪ বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর=
(১২+৪) বছর= ১৬ বছর।
নির্ণেয় তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত=
৬৪ : ১৬
উত্তর: তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৬৪ : ১৬
৩৬। পিতা
ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পুত্রের বয়স ১৬ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
প্রশ্নমতে,
ক : ১৬ = ১১ : ৪
বা, ক × ৪ = ১৬ × ১১
বা, ৪ক = ১৭৬
বা, ক = ১৭৬÷৪
বা, ক = ৪৪
ক = ৪৪
নির্ণেয় পিতার বয়স= ৪৪ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৪ বছর।
৩৭। পিতা
ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পিতার বয়স ৪৪ বছর হলে, পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি
কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ১১ক বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর।
প্রশ্নমতে,
১১ক = ৪৪
বা, ক = ৪৪÷১১
বা, ক = ৪
ক = ৪
পিতার বয়স= ১১ক বছর= (১১×৪) বছর= ৪৪
বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর= (৪×৪) বছর= ১৬
বছর।
নির্ণেয় পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি=
(৪৪+১৬) বছর= ৬০ বছর।
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর।
৩৮। পিতা
ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭: ২। পিতার বর্তমান বয়স ৪২ বছর, ১০ বছর পূর্বে
পুত্রের বয়স কত ছিল?
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৪২×২
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৮৪
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স = ৮৪÷৭
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২
পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২ বছর।
নির্ণেয় ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স=
(১২–১০) বছর= ২ বছর।
উত্তর: ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল ২ বছর।
৩৯। পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬৩ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ৭: ২। ৯
বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিল?
সমাধানঃ
অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি= (৭+২) = ৯
পিতার বয়স= (৬৩ এর ) = ৪৯ বছর।
পিতার বয়স= (৬৩ এর ) = ১৪ বছর।
৯ বছর পূর্বে পিতার বয়স= (৪৯ -৯) বছর=
৪০ বছর।
৯ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১৪ -৯)
বছর= ৫ বছর।
৯ বছর পূর্বে তাদের বয়সের
অনুপাত= ৪০ : ৫= ৮ : ১
উত্তর: পিতার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৮ : ১
৪০। পিতা
ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭৪ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিল ৭: ২। ১০
বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল= (ক-১০)
বছর।
১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল=
(৭৪-ক-১০) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক-১০) : (৭৪-ক-১০) = ৭ : ২
বা, ২(ক-১০) = ৭ ( ৬৪-ক)
বা, ২ক-২০ = ৪৪৮-৭ক
বা, ২ক+৭ক = ৪৪৮+২০
বা, ৯ক = ৪৬৮
বা, ক = ৪৬৮÷৯
বা, ক = ৫২
ক = ৫২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৫২ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর=
(৭৪-৫২) বছর= ২২ বছর।
১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের
অনুপাত= (৫২+১০) : (২২+১০)= ৬২ : ৩২ = ৩১ : ১৬
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩১ : ১৬
৪১। রহিম
ও মামুনের বয়সের অনুপাত ৩: ৫। ৯ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৩: ৪। রহিম ও মামুনের
বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
রহিমের বর্তমান বয়স= ৩ক বছর।
মামুনের বর্তমান বয়স= ৫ক বছর।
৯ বছর পর রহিমের বয়স= (৩ক+৯) বছর।
৯ বছর পর মামুনের বয়স= (৫ক+৯) বছর।
প্রশ্নমতে.
(৩ক+৯) : (৫ক+৯)= ৩ : ৪
বা, ৪(৩ক+৯) = ৩(৫ক+৯)
বা, ১২ক+৩৬ = ১৫ক+২৭
বা, ১২ক-১৫ক= ২৭-৩৬
বা, ৩ক = ৯
বা, ক = ৯÷৩
বা, ক= ৩
ক= ৩
নির্ণেয় রহিমের বর্তমান বয়স= ৩ক বছর=
(৩×৩) বছর= ৯ বছর।
নির্ণেয় মামুনের বর্তমান বয়স= ৫ক বছর=
(৫×৩) বছর= ১৫ বছর।
উত্তর: রহিমের ও মামুনের বয়স ৯ ও ১৫ বছর।
৪২। পিতা
ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৮৪ বছর। ১০ বছর পূর্বে তাদের অনুপাত ৫: ৩ থাকলে,
১০ বছর পর ও অনুপাত কি হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
পুত্রের বয়স= খ বছর।
১ম শর্তমতে,
পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়সের
সমষ্টি= (ক+খ) = ৮৪ ……………….(১)
১০ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়স ছিল
(ক-১০) বছর এবং (খ-১০) বছর।
২য় শর্তমতে,
(ক-১০) : (খ-১০) = ৫ : ৩
বা, ৩(ক-১০) = ৫(খ-১০)
বা, ৩ক-৩০ = ৫খ-৫০
বা, ৩ক-৫খ = -৫০+৩০
বা, ৩ক-৫খ = -২০
৩ক-৫খ = -২০………………….(২)
(১) নং সমীকরণকে ৫ দ্বারা গুণ করে
উহার সাথে (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই-
৫ক + ৫খ= ৪২০
৩ক – ৫খ =-২০
৮ক = ৪০০
বা, ক = ৪০০÷৮
বা, ক = ৫০
ক = ৫০
(১) নং সমীকরণে ক এর মান বসিয়ে পাই-
ক + খ = ৮৪
বা, ৫০ + খ = ৮৪
বা, খ = ৮৪-৫০
বা, খ = ৩৪
খ = ৩৪
১০ বছর পর পিতার বয়স= (ক+১০)= = ৬০
বছর।
১০ বছর পর পুত্রের বয়স= (খ+১০)=
(৩৪+১০)= ৪৪ বছর।
নির্ণেয় ১০ বছর পর, পিতার : পুত্রের
বয়স = ১৫ : ১১
উত্তর: পিতার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৫ : ১১
৪৩। পিতা-পুত্রের
বয়সের সমষ্টি ৬২ বছর। ১ বছর পুর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫: ১। এখন তাদের বয়স
কত?
সমাধানঃ
১ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= ক বছর।
১ বছর পূর্বে পিতার বয়স= ৫ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স = (ক+১) বছর।
পিতার বর্তমান বয়স = (৫ক+১) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক+১) + (৫ক+১) = ৬২
বা, ক+১ + ৫ক+১ = ৬২
বা, ৬ক + ২ = ৬২
বা, ৬ক = ৬২ – ২
বা, ৬ক = ৬০
বা, ক =
বা, ক = ১০
ক = ১০
নির্ণেয় পিতার বর্তমান বয়স = (৫ক+১)
বছর= (৫×১০+১) বছর= (৫০+১) বছর= ৫১ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বর্তমান বয়স = (ক+১)
বছর= (১০+১) বছর= ১১ বছর।
উত্তর: পিতার ও পুত্রের বয়স যথাত্রমে ৫১ ও ১১ বছর।
৪৪। পিতা
ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭: ৩। ৪ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ১৩: ৫।
বর্তমানে কার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স= ৭ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= ৩ক বছর।
৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল= (৭ক-৪)
বছর।
৪ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল= (৩ক-৪)
বছর।
প্রশ্নমতে,
(৭ক-৪) : (৩ক-৪) = ১৩ : ৫
বা, ৫(৭ক-৪) = ১৩(৩ক-৪)
বা, ৩৫ক-২০ = ৩৯ক-৫২
বা, ৩৫ক- ৩৯ক = -৫২ + ২০
বা, -৪ক = -৩২
বা, ৪ক = ৩২
বা, ক = ৩২÷৮
বা, ক = ৮
ক = ৮
নির্ণেয় পিতার বর্তমান বয়স= ৭ক বছর=
(৭×৮) বছর= ৫৬ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বর্তমান বয়স= ৩ক বছর=
(৩×৮) বছর= ২৪ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫৬ বছর ও পুত্রের বয়স ২৪ বছর।
৪৫। পিতা
ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩: ১। ২০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ১৩: ৭ হলে,
তাদের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স= ৩ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
২০ বছর পরে পিতার বয়স= (৩ক + ২০) বছর।
২০ বছর পরে পুত্রের বয়স= (ক + ২০)
বছর।
প্রশ্নমতে,
(৩ক + ২০) : (ক + ২০) = ১৩ : ৭
বা, ৭(৩ক + ২০)= ১৩(ক + ২০)
বা, ২১ক + ১৪০ = ১৩ক + ২৬০
বা, ২১ক-১৩ক = ২৬০-১৪০
বা, ৮ক = ১২০
বা, ক = ১২০÷৮
বা, ক = ১৫
ক = ১৫
নির্ণেয় পিতার বর্তমান বয়স= ৩ক বছর=
(৩×১৫) বছর= ৪৫ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর=
১৫ বছর।
উত্তর: পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়স ৪৫ ও ১৫ বছর।
গণিত শিক্ষা
১. প্রশ্ন : কোনো স্কুলে ৭০% শিক্ষার্থী ইংরেজি এবং ৮০% শিক্ষার্থী
বাংলায় পাস করেছে। কিন্তু ১০% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ৩০০ জন
শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ স্কুলে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?উত্তর : ৫০০
জন।
২. প্রশ্ন : ৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A এর ১৭ ভাগ, B এর ৩ ভাগ এবং C এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে B কতটুকু আছে? উত্তর : ৯ কেজি।
৩. প্রশ্ন : একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টায় ৫ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড়বেগ কত? উত্তর: ১(২/৩)।
৪. প্রশ্ন : কোন সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে তৃতীয় সংখ্যাটি কত? উত্তর : ২৯।
৫. প্রশ্ন : M সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং N সংখ্যার সংখ্যক গড় B, সবগুলো সংখ্যার গড় কত? উত্তর : (AM + BN)/(M+N)।
৬. প্রশ্ন : যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে, তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না? উত্তর : ২০%।
৭. প্রশ্ন : এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ১২০০ টাকায় কিনে ১৫% লাভে বিক্রয় করল; ক্রেতা ঐ দ্রব্য তৃতীয় এক ব্যক্তির কাছে ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করল। শেষ বিক্রয়মূল্য কত ছিল? উত্তর : ১৩১১।
৮. প্রশ্ন : চালের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি চালের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার বাৎসরিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি চালের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?
উত্তর : ২০%।
৯. প্রশ্ন : কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত? উত্তর : ১১৩/৩৫৫।
১০. প্রশ্ন : এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পর অবশিষ্ট ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে, তার নিকট ১০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত? উত্তর : ৩০০০।
১১. প্রশ্ন : একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৫, ৬, ৭ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? উত্তর : ১৫।
১২. প্রশ্ন : একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে উহার পরিসীমা কত? উত্তর : ৮০ মিটার।
১৩. প্রশ্ন : একটি 48 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30 কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল? উত্তর : 16।
১৪. প্রশ্ন : একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে এর পরিসীমা কত? উত্তর : 96 মিটার।
১৫. প্রশ্ন : ৬% হারে নয় মাসে ১০,০০০/- টাকার উপর সুদ কত হবে? উত্তর : ৪৫০ টাকা।
১৬. প্রশ্ন : যদি ১৫টি পোশাকের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ পোশাক শার্ট হয়, তবে ১৫টি পোশাকের মধ্যে কতটি শার্ট নয়? উত্তর : ৯টি।
১৭. প্রশ্ন : ৬০ মিটার বিশিষ্ট একটি রশিকে ৩:৭:১০ অনুপাতে ভাগ করলে টুকরোগুলোর সাইজ কত?উত্তর : ৯:২১:৩০।
১৮. প্রশ্ন : ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪,............এর পরবর্তী সংখ্যাটি কত?উত্তর : ২২৫।
১৯. প্রশ্ন : একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩∶১, এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪∶১ হবে?উত্তর : ৪ গ্রাম।
২০. প্রশ্ন : একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রি করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?উত্তর : ৫%।
২. প্রশ্ন : ৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A এর ১৭ ভাগ, B এর ৩ ভাগ এবং C এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে B কতটুকু আছে? উত্তর : ৯ কেজি।
৩. প্রশ্ন : একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টায় ৫ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড়বেগ কত? উত্তর: ১(২/৩)।
৪. প্রশ্ন : কোন সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে তৃতীয় সংখ্যাটি কত? উত্তর : ২৯।
৫. প্রশ্ন : M সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং N সংখ্যার সংখ্যক গড় B, সবগুলো সংখ্যার গড় কত? উত্তর : (AM + BN)/(M+N)।
৬. প্রশ্ন : যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে, তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না? উত্তর : ২০%।
৭. প্রশ্ন : এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ১২০০ টাকায় কিনে ১৫% লাভে বিক্রয় করল; ক্রেতা ঐ দ্রব্য তৃতীয় এক ব্যক্তির কাছে ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করল। শেষ বিক্রয়মূল্য কত ছিল? উত্তর : ১৩১১।
৮. প্রশ্ন : চালের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি চালের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার বাৎসরিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি চালের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?
উত্তর : ২০%।
৯. প্রশ্ন : কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত? উত্তর : ১১৩/৩৫৫।
১০. প্রশ্ন : এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পর অবশিষ্ট ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে, তার নিকট ১০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত? উত্তর : ৩০০০।
১১. প্রশ্ন : একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৫, ৬, ৭ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? উত্তর : ১৫।
১২. প্রশ্ন : একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে উহার পরিসীমা কত? উত্তর : ৮০ মিটার।
১৩. প্রশ্ন : একটি 48 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30 কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল? উত্তর : 16।
১৪. প্রশ্ন : একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে এর পরিসীমা কত? উত্তর : 96 মিটার।
১৫. প্রশ্ন : ৬% হারে নয় মাসে ১০,০০০/- টাকার উপর সুদ কত হবে? উত্তর : ৪৫০ টাকা।
১৬. প্রশ্ন : যদি ১৫টি পোশাকের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ পোশাক শার্ট হয়, তবে ১৫টি পোশাকের মধ্যে কতটি শার্ট নয়? উত্তর : ৯টি।
১৭. প্রশ্ন : ৬০ মিটার বিশিষ্ট একটি রশিকে ৩:৭:১০ অনুপাতে ভাগ করলে টুকরোগুলোর সাইজ কত?উত্তর : ৯:২১:৩০।
১৮. প্রশ্ন : ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪,............এর পরবর্তী সংখ্যাটি কত?উত্তর : ২২৫।
১৯. প্রশ্ন : একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩∶১, এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪∶১ হবে?উত্তর : ৪ গ্রাম।
২০. প্রশ্ন : একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রি করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?উত্তর : ৫%।
গণিতের চারটি কঠিন বিষয়ের
সহজ সমাধান!
বানরের বাঁশে ওঠা সংক্রান্ত
এই সকল অংক গুলো জানার জন্য শুধু মাত্র ১টি টেকনিক মনে রাখুন।
এটাইপের ১টি অংক প্রাইমারীতে থাকে। ভাগ্য ভালো হলে কমন পড়ে যেতে পারে।
যেমনঃ ১. যখন বানর তৈলাক্ত বাশের মাথায় নির্দিষ্ট সময় উঠে এবং নির্দিষ্ট সময়ে নামে তখন-
যেমনঃ ১. যখন বানর তৈলাক্ত বাশের মাথায় নির্দিষ্ট সময় উঠে এবং নির্দিষ্ট সময়ে নামে তখন-
প্রয়োজনীয় সময়={(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু
উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)}*২+১
উদাহারনঃ
প্রশ্নঃ একটি বানর ৯২ ফুট উচু একটা তৈলাক্ত বাশ বেয়ে উপরে উঠতে লাগল। বানরটি প্রথম মিনিটে ১২ ফুট ওঠে, কিন্তু দ্বিতীয় মিনিটে ৮ ফুট নেমে যায়। বাশের মাথায় উঠতে বানরটির কত মিনিট সময় লাগে?
শর্ট টেকনিক:
প্রয়োজনীয় সময়={(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)}*২+১
={(৯২-১২)÷(১২-৮)}*২+১=(৮০/৪)*২+১
= ৪১ মিনিট (উঃ)
উদাহারনঃ
প্রশ্নঃ একটি বানর ৯২ ফুট উচু একটা তৈলাক্ত বাশ বেয়ে উপরে উঠতে লাগল। বানরটি প্রথম মিনিটে ১২ ফুট ওঠে, কিন্তু দ্বিতীয় মিনিটে ৮ ফুট নেমে যায়। বাশের মাথায় উঠতে বানরটির কত মিনিট সময় লাগে?
শর্ট টেকনিক:
প্রয়োজনীয় সময়={(মোট দৈর্ঘ্য-নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে)÷(নির্দিষ্ট সময় যতটুকু উঠে -)}*২+১
={(৯২-১২)÷(১২-৮)}*২+১=(৮০/৪)*২+১
= ৪১ মিনিট (উঃ)
পিপা ট্যাংক চৌবাচ্চা
সংক্রান্ত
মাত্র ২টি
গুরুত্বপুর্ণ টেকনিক মনে রাখলেই-টেকনিকে এই ধরনের সকল অংক করা সম্ভব।
১. যখন কোন পিপা/ ট্যাংক দুইটি নলের ১টি পানি দ্বারা
পূর্নকরণ এবং অপর অপসারণরত থাকে তখন –
পিপা/ ট্যাংক পূর্ণ বা খালি হতে প্রয়োজনীয় সময়=mn÷(m-n)
এখানে, m=২য় নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
n= ১ম নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
পিপা/ ট্যাংক পূর্ণ বা খালি হতে প্রয়োজনীয় সময়=mn÷(m-n)
এখানে, m=২য় নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
n= ১ম নল দ্বারা ব্যয়িত সময়
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি চৌবাচ্চা একটি নল দ্বারা ১০ ঘন্টায় পূর্ন হয়। তাতে একটি ছিদ্র থাকায় পূর্ণ হতে ১৫ ঘন্টা লাগে। ছিদ্র দ্বারা চৌবাচ্চাটি খালি হতে কত সময় লাগবে?
প্রশ্নঃ একটি চৌবাচ্চা একটি নল দ্বারা ১০ ঘন্টায় পূর্ন হয়। তাতে একটি ছিদ্র থাকায় পূর্ণ হতে ১৫ ঘন্টা লাগে। ছিদ্র দ্বারা চৌবাচ্চাটি খালি হতে কত সময় লাগবে?
শর্ট টেকনিক:
(১৫*১০) ÷ (১৫-১০)= ৩০ঘন্টা
২. যখন দুইটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন-
প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি চৌবাচচা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ এবং ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়।দুটি নল এক সংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
শর্ট টেকনিক:
প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
=৩০*২০÷(৩০+২০)=১২ মিনিট
(১৫*১০) ÷ (১৫-১০)= ৩০ঘন্টা
২. যখন দুইটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় তখন-
প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি চৌবাচচা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ২০ এবং ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়।দুটি নল এক সংগে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?
শর্ট টেকনিক:
প্রয়োজনীয় সময়= mn÷(m+n)
=৩০*২০÷(৩০+২০)=১২ মিনিট
নৌকা ও স্রোত সংক্রান্ত গনিত
১. নৌকার বেগ-
V=(স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ(x)+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ( y))÷২
V=(স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ(x)+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ( y))÷২
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮কি . মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কিলোমিটার যায়। নৌকার বেগ কত?
শর্ট টেকনিক:
V=(স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ(x)+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ( y))÷২
=(৮+৪)÷২=৬কি . মি.
প্রশ্নঃ একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় ৮কি . মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৪ কিলোমিটার যায়। নৌকার বেগ কত?
শর্ট টেকনিক:
V=(স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ(x)+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ( y))÷২
=(৮+৪)÷২=৬কি . মি.
২. যখন নৌকাটি নির্দিষ্ট স্থানে গিয়ে আবার পূর্বের
স্থানে ফিরে আসে তখন-
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
এখানে,
d=মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব
p=নৌকার বেগ
q=স্রোতের বেগ
উদাহারনঃ
প্রশ্নঃ নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫কি . মি. । নদী পথে ৪৫ কি.মি. দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘন্টা সময় লাগবে?
d=মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব
p=নৌকার বেগ
q=স্রোতের বেগ
উদাহারনঃ
প্রশ্নঃ নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫কি . মি. । নদী পথে ৪৫ কি.মি. দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘন্টা সময় লাগবে?
শর্ট টেকনিক:
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
=৪৫{১÷(১০+৫)+১÷(১০-৫)}=১২ ঘন্টা
পূর্বের স্থানে ফিরে আসার সময় = d{1/(p+q)+1/(p-q)}
=৪৫{১÷(১০+৫)+১÷(১০-৫)}=১২ ঘন্টা
কাজ ও সময় সংক্রান্ত
গনিত
(৩০ সেকেন্ডে অংক গুলো করে পেলুন মাত্র ৫টি টেকনিকে)
১. কাজ,সময়ও লোক উল্লেখ থাকলে-
১ম লোক( M1) *১ম সময় ( T1) =২য় লোক ( M2) *২য় সময় (T2)
বা,, ২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময়÷ ২য় লোক
১ম লোক( M1) *১ম সময় ( T1) =২য় লোক ( M2) *২য় সময় (T2)
বা,, ২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময়÷ ২য় লোক
যেমন-
প্রশ্নঃ ১০জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৮জন লোকের ঐ কাজটি করতে কতদিন লাগবে?
শর্ট টেকনিক:
২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময় ÷ ২য় লোক
২য় সময় (D2 ) = ১০*২০÷৮=২৫ দিন।
প্রশ্নঃ ১০জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৮জন লোকের ঐ কাজটি করতে কতদিন লাগবে?
শর্ট টেকনিক:
২য় সময় = ১ম লোক * ১ম সময় ÷ ২য় লোক
২য় সময় (D2 ) = ১০*২০÷৮=২৫ দিন।
২. কাজের ক্ষেত্রে পুরুষ=
স্ত্রী/ বালক বা স্ত্রী=পুরুষ/বালক এবং ১ম সময় উল্লেখ থাকলে ২য় সময়-
T2=T1÷(৩য় লোকসংখ্যা/ ১ম লোকসংখ্যা+৪র্থ লোকসংখ্যা/ ২য় লোকসংখ্যা।
(এখানে T1 =১ম সময় T2=২য় সময়)
T2=T1÷(৩য় লোকসংখ্যা/ ১ম লোকসংখ্যা+৪র্থ লোকসংখ্যা/ ২য় লোকসংখ্যা।
(এখানে T1 =১ম সময় T2=২য় সময়)
যেমন-
প্রশ্নঃ ২জন পুরুষ বা তিনজন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, চার জন পুরুষ এবং ৯ জন বালক তার দ্বিগুন কাজ কত দিনে করতে পারে?
প্রশ্নঃ ২জন পুরুষ বা তিনজন বালক যে কাজ ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, চার জন পুরুষ এবং ৯ জন বালক তার দ্বিগুন কাজ কত দিনে করতে পারে?
শর্ট টেকনিক:
T2=১৫÷(৪/২+৯/৩)=৩দিনে
T2=১৫÷(৪/২+৯/৩)=৩দিনে
৩. কোন কাজ দুজনে নির্দিষ্ট
সময় পৃথকভাবে শেষ করলে একত্রে কাজ করার ক্ষেত্রে-
প্রয়োজনীয় সময়=(১ম সময়(m)*২য় সময়(n))÷(১ম সময়(m)+২য় সময়(n)
প্রয়োজনীয় সময়=(১ম সময়(m)*২য় সময়(n))÷(১ম সময়(m)+২য় সময়(n)
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি কাজ ক একা ৬ দিনে এবং খ একা ১২ দিনে শেষ করলে ক ও খ একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
শর্ট টেকনিক:
=১২*৬÷(১২+৬)=৪দিনে
প্রশ্নঃ একটি কাজ ক একা ৬ দিনে এবং খ একা ১২ দিনে শেষ করলে ক ও খ একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
শর্ট টেকনিক:
=১২*৬÷(১২+৬)=৪দিনে
৪. কোন কাজ দুই জনে
নির্দিষ্ট সময় একত্রে করতে পারলে একজনের একা কাজটি শেষ করতে-
প্রয়োজনীয় সময়=(১ম সময় (m)*২য় সময় (n))÷(১ম সময়(m)-২য় সময়(n)
প্রয়োজনীয় সময়=(১ম সময় (m)*২য় সময় (n))÷(১ম সময়(m)-২য় সময়(n)
যেমন-
প্রশ্নঃ একটি কাজ ক এবং খ ১২ দিনে এবং ক একা ২০ দিনে শেষ করলে , খ একা কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
শর্ট টেকনিক:
=(২০*১২)÷(২০-১২)= ৩০ দিনে
প্রশ্নঃ একটি কাজ ক এবং খ ১২ দিনে এবং ক একা ২০ দিনে শেষ করলে , খ একা কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?
শর্ট টেকনিক:
=(২০*১২)÷(২০-১২)= ৩০ দিনে
৫. দুই ব্যক্তি কাজ শুরু
করার পর একজন চলে গেলে কাজ শেষ হওয়ার সময়,যদি একজনের কাজের সময় অপর জনের
দ্বিগুন হয় তবে-
কাজ শেষ হওয়ার সময়=২/৩*(D1+D3)
(এখানে, D1=১ম সময় D1=৩য় সময়)
কাজ শেষ হওয়ার সময়=২/৩*(D1+D3)
(এখানে, D1=১ম সময় D1=৩য় সময়)
যেমন-
প্রশ্নঃ ক একটি কাজ ১২দিনে এবং খ ২৪ দিনে করতে পারে।তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েক দিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু খ ৩ দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল।
শর্ট টেকনিক:
=২/৩*(১২+৩) =১০দিনে
প্রশ্নঃ ক একটি কাজ ১২দিনে এবং খ ২৪ দিনে করতে পারে।তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েক দিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু খ ৩ দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল।
শর্ট টেকনিক:
=২/৩*(১২+৩) =১০দিনে
ক্যালকুলেটর ছাড়া গণিত এর
কার্যকর টেকনিক!
Mathematics Technique-01
Percentage:
মাত্র ৬/৭ সেকেন্ডে কিভাবে Percent বের করবেন তার জন্য নিচের
টেকনিকটি দেখুন-
30% of 50= 15 (3*5=15)
কিভাবে মাত্র কয়েক সেকেন্ডে এর উত্তর বের করবেন?
প্রশ্নে উল্লেখিত সংখ্যা দুটি হল 30 এবং 50। এখানে উভয় সংখ্যার এককের ঘরের অংক ‘শুন্য’ আছে। যদি উভয় সংখ্যার এককের ঘরের অংক ‘শুন্য’ হয় তাহলে উভয় সংখ্যা থেকে তাদেরকে (শুন্য) বাদ দিয়ে বাকি যে সংখ্যা পাওয়া যায় তাদেরকে গুণ করলেই উত্তর বের হয়ে যাবে অর্থাৎ এখানে 3 এবং 5 কে গুণ করলেই উত্তর বের হয়ে যাবে।
প্রশ্নে উল্লেখিত সংখ্যা দুটি হল 30 এবং 50। এখানে উভয় সংখ্যার এককের ঘরের অংক ‘শুন্য’ আছে। যদি উভয় সংখ্যার এককের ঘরের অংক ‘শুন্য’ হয় তাহলে উভয় সংখ্যা থেকে তাদেরকে (শুন্য) বাদ দিয়ে বাকি যে সংখ্যা পাওয়া যায় তাদেরকে গুণ করলেই উত্তর বের হয়ে যাবে অর্থাৎ এখানে 3 এবং 5 কে গুণ করলেই উত্তর বের হয়ে যাবে।
40% of 60= 24 (4*6=24)
20% of 190= 38 (2*19=38)
80% of 40= 32 (8*4=32)
20% of 18= 3.6 (2*1.8=3.6)
এখানে দুটি সংখ্যার মধ্যে একটির এককের ঘরের সংখ্যা ‘শুন্য’।
তাহলে এখন কি করব? ঐ ‘শুন্য’ টাকে বাদ দেব আর যে সংখ্যায় ‘শুন্য’ নেই সেই সংখ্যার
এককের ঘরের আগে একটা ‘দশমিক’ বসিয়ে দেব। বাকী কাজটা আগের মতই।
25% of 44=11 (2.5*4.4=11)
245% of 245=600.25 (24.5*24.5=600.25)
১২৫ এর ২০% কত? =২৫ (১২.৫*২=২৫)
৫০ এর ১০% কত? =৫ (৫*১=৫)
১১৫২৫ এর ২৩% কত? =২৬৫০.৭৫ (১১৫২.৫*২.৩=২৬৫০.৭৫)
Mathematics Technique-02
How to Multiply Any 2-Digit Numbers without Calculator
31*21= 651
এরকম বা এর চেয়েও কঠিন 2-Digit Number কে খুব সহজে Calculator
এর সাহায্য ছাড়াই গুণ করে ফেলতে পারেন মাত্র কয়েক সেকেন্ডে।
কিভাবে Calculator ছাড়া এরকম 2-Digit Number গুলোকে গুণ করবেন?
উভয় সংখ্যার প্রথম digit-এর সাথে প্রথম digit-কে গুণ করতে হবে
যেমন এখানে 3-এর সাথে 2-কে গুণ করে পেলাম 6. সেটাকে প্রথমে লিখলাম। তারপর উভয়
সংখ্যার দ্বিতীয় digit-এর সাথে দ্বিতীয় digit-কে গুণ করতে হবে যেমন এখানে 1-এর
সাথে 1-কে গুণ করে পেলাম 1. এবার সেটাকে লিখব 6 এর পরে 1 টা খালি ঘর রেখে (6_1)।
তারপর, উভয় সংখ্যার বেলায় একটি সংখ্যার প্রথম digit-এর সাথে অন্য সংখ্যার দ্বিতীয়
digit-কে গুণ করে এই উভয় গুণফলকে যোগ করে দিলেই 6 এবং 1 এর মাঝখানে যে খালি ঘরটি
রেখেছিলাম সেটির অংকটি বের হয়ে যাবে (3*1=3 এবং 2*1=2, তারপর 3+2=5 যা 6 এবং 1 এর
মাঝখানে বসবে। সুতরাং 31 এবং 21 এর গুণফলটি হল 651)। এই পদ্ধতিটি পড়তে একটু সময়
লাগলেও নিজে করে দেখুন মাত্র কয়েক সেকেন্ডেই এরকম 2-Digit Number গুলোকে খুব সহজে
Calculator ছাড়াই নিজে নিজে গুণ করে ফেলতে পারবেন।
23*12= 276 (2*1=2(প্রথম অংক), 3*2=6(শেষের অংক), 2*2=4 এবং
3*1=3 এবার এই গুণফলগুলির যোগফল হল 4+3=7 যা মাঝখানের অংক)
41*31= 1271 (4*3=12, 1*1=1, 4*1+3*1=7)
44*52= 2288 (4*5=20, 4*2=8, 4*2+4*5=28; এখানে খেয়াল করুন-
প্রথমে 20 বসালাম তারপর 1 ঘর খালি রেখে 8 বসালাম এবং শেষে মাঝখানের খালি ঘরে ঐ
যোগফলটিকে(28) বসাতে হবে। কিন্তু এখানে তো খালি ঘর 1 টি আর 28-এর মধ্যে digit হল
দুটি। সেজন্য 28 এর শেষের অংক অর্থাৎ 8 কে ঐ খালি ঘরে বসিয়ে 2 কে তার আগের 20 এর
সাথে যোগ করলেই খেলা শেষ)
96*58=5568 (9*5=45, 6*8=48, প্রথমেই 45 বসালাম তারপর 1 ঘর
খালি রেখে 48 বসাব কিন্তু খেয়াল করুন এখানে 48 বসালে গুণফলটি 5 অংকবিশিষ্ট সংখ্যা
হয়ে যাবে যা কখনও সম্ভব নয়। তাদের গুণফল 4 অংকের বেশি কোন সংখ্যা হবে না কারণ
সবচেয়ে বড় 2-digit (99*99) অংক গুলির গুণফল 9801 যা 4 অংকবিশিষ্ট। তাই 48 এর শুধু
8 কে বসিয়ে 4 কে রেখে দেব। এবার 9*8=72 এবং 5*6=30 এর যোগফলের সাথে পূর্বের 4 কে
যোগ করলে 106 পাওয়া যায় যা থেকে ঐ খালি ঘরে 6 বসিয়ে 10 কে প্রথমে বসানো 45 এর সাথে
যোগ করে বসিয়ে দিলেই গুণফল (5568) পাওয়া যায়। এটি প্রথমে একটু ঝামেলার মনে হতে
পারে কিন্তু এরকম টি অংক করলেই দেখবেন পুরোপুরি অভ্যস্ত হয়ে গেছেন।
Mathematics Technique-03
Rule of 72
1. আপনার 50,000 টাকা ব্যাংকে জমা আছে এবং ব্যাংক ঐ জমার উপর
10% হারে মুনাফা দেয়। তাহলে কতদিন পরে তা দ্বিগুণ হবে?
এই অংকটি সহজে করার জন্য আপনি Rule of 72 প্রয়োগ করতে পারেন তাহলে খুব সহজে অংক না করেও আপনি উত্তর পেয়ে যাবেন।
Rule of 72 কি?
Rule of 72 প্রয়োগ করা যাবে যদি কোন কিছুকে দ্বিগুণ করার কথা বলা হয় এবং প্রশ্নে percent উল্লেখ থাকে। তাহলে এই Rule এর মাধ্যমে আমরা 1 নং অংকটি করতে পারি। 72 কে প্রশ্নে উল্লেখিত percent দিয়ে ভাগ করলেই খুব কাছাকাছি (খেয়াল করুন- ১০০% সঠিক উত্তর পাবেন না, কাছাকাছি পাবেন) উত্তরটি পেয়ে যাবেন। উপরের 1 নং অংকটির উত্তর হল 72/10=7.2 বছর অর্থাৎ 7.2 বছর পরে ঐ টাকা দ্বিগুণ হবে। যদি পুরো অংকটি step by step করেন তাহলে উত্তর হবে 7.27 ।
2. 100,000 টাকা 6% হারে কতদিনে দ্বিগুণ হবে?
সমাধানঃ 72/6= 12 বছর। (সঠিক উত্তর 11.89 বছর)
3. 160,000 টাকা 20% হারে কতদিনে 320,000 টাকা হবে?
সমাধানঃ 72/20= 3.6 বছর (সঠিক উত্তর 3.80 বছর)
এই অংকটি সহজে করার জন্য আপনি Rule of 72 প্রয়োগ করতে পারেন তাহলে খুব সহজে অংক না করেও আপনি উত্তর পেয়ে যাবেন।
Rule of 72 কি?
Rule of 72 প্রয়োগ করা যাবে যদি কোন কিছুকে দ্বিগুণ করার কথা বলা হয় এবং প্রশ্নে percent উল্লেখ থাকে। তাহলে এই Rule এর মাধ্যমে আমরা 1 নং অংকটি করতে পারি। 72 কে প্রশ্নে উল্লেখিত percent দিয়ে ভাগ করলেই খুব কাছাকাছি (খেয়াল করুন- ১০০% সঠিক উত্তর পাবেন না, কাছাকাছি পাবেন) উত্তরটি পেয়ে যাবেন। উপরের 1 নং অংকটির উত্তর হল 72/10=7.2 বছর অর্থাৎ 7.2 বছর পরে ঐ টাকা দ্বিগুণ হবে। যদি পুরো অংকটি step by step করেন তাহলে উত্তর হবে 7.27 ।
2. 100,000 টাকা 6% হারে কতদিনে দ্বিগুণ হবে?
সমাধানঃ 72/6= 12 বছর। (সঠিক উত্তর 11.89 বছর)
3. 160,000 টাকা 20% হারে কতদিনে 320,000 টাকা হবে?
সমাধানঃ 72/20= 3.6 বছর (সঠিক উত্তর 3.80 বছর)
Rule of 115
1. আপনার 200,000 টাকা ব্যাংকে জমা আছে এবং ব্যাংক ঐ জমার উপর
10% হারে মুনাফা দেয়। তাহলে কতদিন পরে তা তিনগুণ হবে?
এই অংকটি সহজে করার জন্য আপনি Rule of 115 প্রয়োগ করতে পারেন তাহলে খুব সহজে অংক না করেও আপনি উত্তর পেয়ে যাবেন।
Rule of 115 কি?
Rule of 115 প্রয়োগ করা যাবে যদি কোন কিছুকে তিনগুণ করার কথা বলা হয় এবং প্রশ্নে percent উল্লেখ থাকে। তাহলে আমরা 1 নং অংকটি করতে পারি এই Rule এর মাধ্যমে। 115 কে প্রশ্নে উল্লেখিত percent দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর পেয়ে যাবেন। উপরের ১ নং অংকটির উত্তর হল 115/10=11.5 বছর অর্থাৎ 11.5 বছর পরে ঐ টাকা তিনগুণ হবে। যদি পুরো অংকটি step by step করেন তাহলে উত্তর হবে 11.53 বছর।
2. 56,700 টাকা 5% হারে কতদিনে তিনগুণ হবে?
সমাধানঃ 115/5= 23 বছর। (সঠিক উত্তর 22.51 বছর)
3. 200,000 টাকা 20% হারে কতদিনে 600,000 টাকা হবে?
সমাধানঃ 115/20= 5.75 বছর (সঠিক উত্তর 6.02 বছর)
এই অংকটি সহজে করার জন্য আপনি Rule of 115 প্রয়োগ করতে পারেন তাহলে খুব সহজে অংক না করেও আপনি উত্তর পেয়ে যাবেন।
Rule of 115 কি?
Rule of 115 প্রয়োগ করা যাবে যদি কোন কিছুকে তিনগুণ করার কথা বলা হয় এবং প্রশ্নে percent উল্লেখ থাকে। তাহলে আমরা 1 নং অংকটি করতে পারি এই Rule এর মাধ্যমে। 115 কে প্রশ্নে উল্লেখিত percent দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর পেয়ে যাবেন। উপরের ১ নং অংকটির উত্তর হল 115/10=11.5 বছর অর্থাৎ 11.5 বছর পরে ঐ টাকা তিনগুণ হবে। যদি পুরো অংকটি step by step করেন তাহলে উত্তর হবে 11.53 বছর।
2. 56,700 টাকা 5% হারে কতদিনে তিনগুণ হবে?
সমাধানঃ 115/5= 23 বছর। (সঠিক উত্তর 22.51 বছর)
3. 200,000 টাকা 20% হারে কতদিনে 600,000 টাকা হবে?
সমাধানঃ 115/20= 5.75 বছর (সঠিক উত্তর 6.02 বছর)
এভাবে খুব সহজে উত্তরটি (approximate answer, not 100%
accurate answer) পেয়ে যাবেন। বিশেষ করে competitive exam এ MCQ প্রশ্ন গুলোকে
solve করার জন্য যখন আপনার হাতে সময় খুব কম
থাকবে তখন এই technique গুলো খুব বেশি সহায়ক হবে। তবে যদি answer
option গুলো খুব কাছাকাছি হয় (যেমন- Rule of 72 এর ১ নং অংক এর বেলায় ৭.২০, ৭.৩০,
৭.৫০), তাহলে ভুলেও এটি প্রয়োগ করবেন না। প্রয়োগ করবেন তখনই যখন দেখবেন option
গুলোর মধ্যে নিরাপদ দূরত্ব বিদ্যমান।
Mathematics Technique-04
*ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে 5 দিয়ে ভাগ করার একটি
effective টেকনিক………
13/5= 2.6 (ক্যালকুলেটর ছাড়া মাত্র ৩ সেকেন্ডে এটি সমাধান করা
যায়)
টেকনিকঃ 5 দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করবেন তাকে 2 দিয়ে গুণ করুন
তারপর ডানদিক থেকে 1 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিন। কাজ শেষ!!! 13*2=26, তারপর থেকে 1 ঘর
আগে দশমিক বসিয়ে দিলে 2.6 ।
213/5=42.6 (213*2=426)
03/5= 0.006 (0.03*2=0.06 যার একঘর আগে দশমিক বসালে হয় 0.006)
333,333,333/5= 66,666,666.6 (এই গুলা করতে আবার ক্যালকুলেটর
লাগে না কি!)
12,121,212/5= 2,424,242.4
এবার নিজে ইচ্ছেমত 5 দিয়ে যে কোন সংখ্যাকে ভাগ করে দেখুন, ৩.৫
সেকেন্ডের বেশি লাগবে না!!
*ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে 25 দিয়ে ভাগ করার একটি
effective টেকনিক………
13/25=0.52 (ক্যালকুলেটর ছাড়া মাত্র ৩ সেকেন্ডে এটিও সমাধান
করা যায়)
টেকনিকঃ 25 দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করবেন তাকে 4 দিয়ে গুণ করুন
তারপর ডানদিক থেকে 2 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিন। কাজ শেষ!!! 13*4=52, তারপর থেকে 2 ঘর
আগে দশমিক বসিয়ে দিলে 0.52 ।
210/25= 8.40
03/25=0.0012
222,222/25=8,888.88
13,121,312/25=524,852.48
*ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে 125 দিয়ে ভাগ করার একটি
effective টেকনিক………
7/125=0.056
টেকনিকঃ 125
দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করবেন তাকে 8 দিয়ে গুণ করুন তারপর ডানদিক থেকে 3 ঘর আগে
দশমিক বসিয়ে দিন। কাজ শেষ!!! 7*8=56, তারপর থেকে 3 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিলে 0.056
।
111/125= 0.888
600/125= 4.800
Mathematics Technique-05
ক্যালকুলেটর ছাড়া ২০ থেকে ২৯ পর্যন্ত যে কোন সংখ্যার বর্গ
নির্ণয় করার খুব কার্যকর একটি টেকনিক-
১. ২৩ এর বর্গ কত?
যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবেন তার এককের ঘরের অংকের সাথে পুরো সংখ্যাটিকে যোগ করতে হবে তারপর যোগফলটিকে ২ দিয়ে গুণ করে নিতে হবে এবং শেষে এককের ঘরের অংকের বর্গ বসিয়ে দিতে হবে। এইতো শেষ।
Step-1: ২৩+৩=২৬
Step-2: ২৬*২=৫২
Step-3: ৩*৩=৯ তাহলে ২৩ এর বর্গ হল ৫২৯।
২. ২৮ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৮+৮=৩৬
Step-2: ৩৬*২=৭২
Step-3: ৮*৮=৬৪, তাহলে ২৮ এর বর্গ হল ৭৮৪।
খেয়াল করুন ২০ থেকে ২৯ পর্যন্ত যে কোন সংখ্যার বর্গ হবে ৩ অংক বিশিষ্ট কোন সংখ্যা তাই প্রথমে ৭২ বসালাম এবং তারপর যদি ৬৪ বসাই তাহলে এটি ৪ অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা হয়ে যাবে সেজন্য ৬৪-র এককের ঘরের অংক ৪ কে বসিয়ে ৬ কে ৭২ এর সাথে যোগ করে নিলেই কাজ শেষ।
৩. ২৯ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৯+৯=৩৮
Step-2: ৩৮*২=৭৬
Step-3: ৯*৯=৮১, তাহলে ২৯ এর বর্গ হল ৮৪১।
যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবেন তার এককের ঘরের অংকের সাথে পুরো সংখ্যাটিকে যোগ করতে হবে তারপর যোগফলটিকে ২ দিয়ে গুণ করে নিতে হবে এবং শেষে এককের ঘরের অংকের বর্গ বসিয়ে দিতে হবে। এইতো শেষ।
Step-1: ২৩+৩=২৬
Step-2: ২৬*২=৫২
Step-3: ৩*৩=৯ তাহলে ২৩ এর বর্গ হল ৫২৯।
২. ২৮ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৮+৮=৩৬
Step-2: ৩৬*২=৭২
Step-3: ৮*৮=৬৪, তাহলে ২৮ এর বর্গ হল ৭৮৪।
খেয়াল করুন ২০ থেকে ২৯ পর্যন্ত যে কোন সংখ্যার বর্গ হবে ৩ অংক বিশিষ্ট কোন সংখ্যা তাই প্রথমে ৭২ বসালাম এবং তারপর যদি ৬৪ বসাই তাহলে এটি ৪ অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা হয়ে যাবে সেজন্য ৬৪-র এককের ঘরের অংক ৪ কে বসিয়ে ৬ কে ৭২ এর সাথে যোগ করে নিলেই কাজ শেষ।
৩. ২৯ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৯+৯=৩৮
Step-2: ৩৮*২=৭৬
Step-3: ৯*৯=৮১, তাহলে ২৯ এর বর্গ হল ৮৪১।
Mathematics Technique-06
ক্যালকুলেটর ছাড়া ৩০ থেকে ৭০ পর্যন্ত যে কোন সংখ্যার বর্গ
নির্ণয় করার খুব কার্যকর একটি টেকনিক-
খেয়াল করুন- প্রথমে যখন নিচের টেকনিকটি পড়বেন তখন হয়ত কারো
কাছে একটু ঝামেলার মনে হতে পারে কিন্তু ৩/৪ টি অংক করলে দেখবেন আসলেই বিষয়টি অনেক
মজার। ৩০ থেকে ৭০ পর্যন্ত যে কোন সংখ্যার বর্গ (square) বের করতে মাত্র ১০/১২
সেকেন্ড লাগবে।
১. ৫৫ এর বর্গ কত?
যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবেন সেটি যদি ৫০ এর চেয়ে বড় হয় তাহলে যত বেশি বড় হবে তার সাথে ২৫ কে যোগ করতে হবে তখন যা পাওয়া যাবে তা হল প্রথম দুটি অংক। তারপর ৫০ আর ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ হবে শেষ দুটি অংক (দুই অংকের বেশি বা কম হলে কি করবেন তা পরে বলা হয়েছে)
Step-1: ২৫+৫=৩০ (যেহেতু ৫৫ হল ৫০ এর চেয়ে ৫ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ৫ যোগ করা হল)
Step-2: ৫*৫=২৫ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)
তাহলে ৫৫ এর বর্গ হল ৩০২৫।
২. ৫৯ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫+৯=৩৪ (প্রথম দুটি অংক)
Step-2: ৯*৯=৮১ (শেষ দুটি অংক)
সুতরাং ৫৯ এর বর্গ হল ৩৪৮১।
৩. ৫৩ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫+৩=২৮ (যেহেতু ৫৩ হল ৫০ এর চেয়ে ৩ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ৩ যোগ করা হল)
Step-2: ৩*৩=৯ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)
খেয়াল করুন, এখানে শুধু ৯ বসালে হবে না কারণ ৩২ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গ হল চার অংক বিশিষ্ট। তাই ৯ এর আগে একটা ০ বসাতে হবে।
তাহলে ৫৩ এর বর্গ হল ২৮০৯।
৪. ৬২ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫+১২=৩৭ (যেহেতু ৬২ হল ৫০ এর চেয়ে ১২ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ১২ যোগ করা হল)
Step-2: ১২*১২=১৪৪ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)
এখানে খেয়াল করুন, ৩২ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গ হল চার অংক বিশিষ্ট। তাই প্রথম দুটি সংখ্যা হল ৩৭ কিন্তু তারপর যদি ১৪৪ বসাই তাহলে সেই বর্গটি ৫ অংকবিশিষ্ট সংখ্যা হয়ে যাবে যা সম্ভব নয়। সেজন্য শেষের ২ অংক অর্থাৎ ৪৪ বসিয়ে তার আগের ১ কে প্রথম দুই অংকের অর্থাৎ ৩৭ এর সাথে যোগ করতে হবে। তাহলে ৬২ এর বর্গ হবে ৩৮৪৪।
আবার যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবেন সেটি যদি ৫০ এর চেয়ে ছোট হয় তাহলে যত ছোট হবে ২৫ থেকে তত বিয়োগ করতে হবে তখন যা পাওয়া যাবে তা হল প্রথম দুটি সংখ্যা। তারপর ৫০ আর ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ হবে শেষ দুটি সংখ্যা।
৫. ৪৮ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫-২=২৩ (প্রথম দুটি অংক)
Step-2: ২*২=০৪ (শেষ দুটি অংক)
সুতরাং ৪৮ এর বর্গ হল ২৩০৪।
৬. ৪২ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫-৮=১৭ (প্রথম দুটি অংক)
Step-2: ৮*৮=৬৪ (শেষ দুটি অংক)
সুতরাং ৪২ এর বর্গ হল ১৭৬৪।
৭. ৩০ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫-২০= ৫
Step-2: ২০*২০=৪০০ (যেহেতু ৪০০ সংখ্যাটি ৩ অংকবিশিষ্ট হয়ে গেছে তাই শেষের দুটি অংক বসবে আর প্রথম অংকটিকে অর্থাৎ ৪ কে আগের মত ৫ এর সাথে যোগ করে নিতে হবে), সুতরাং ৩০ এর বর্গ হল ৯০০।
১. ৫৫ এর বর্গ কত?
যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবেন সেটি যদি ৫০ এর চেয়ে বড় হয় তাহলে যত বেশি বড় হবে তার সাথে ২৫ কে যোগ করতে হবে তখন যা পাওয়া যাবে তা হল প্রথম দুটি অংক। তারপর ৫০ আর ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ হবে শেষ দুটি অংক (দুই অংকের বেশি বা কম হলে কি করবেন তা পরে বলা হয়েছে)
Step-1: ২৫+৫=৩০ (যেহেতু ৫৫ হল ৫০ এর চেয়ে ৫ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ৫ যোগ করা হল)
Step-2: ৫*৫=২৫ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)
তাহলে ৫৫ এর বর্গ হল ৩০২৫।
২. ৫৯ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫+৯=৩৪ (প্রথম দুটি অংক)
Step-2: ৯*৯=৮১ (শেষ দুটি অংক)
সুতরাং ৫৯ এর বর্গ হল ৩৪৮১।
৩. ৫৩ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫+৩=২৮ (যেহেতু ৫৩ হল ৫০ এর চেয়ে ৩ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ৩ যোগ করা হল)
Step-2: ৩*৩=৯ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)
খেয়াল করুন, এখানে শুধু ৯ বসালে হবে না কারণ ৩২ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গ হল চার অংক বিশিষ্ট। তাই ৯ এর আগে একটা ০ বসাতে হবে।
তাহলে ৫৩ এর বর্গ হল ২৮০৯।
৪. ৬২ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫+১২=৩৭ (যেহেতু ৬২ হল ৫০ এর চেয়ে ১২ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ১২ যোগ করা হল)
Step-2: ১২*১২=১৪৪ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)
এখানে খেয়াল করুন, ৩২ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গ হল চার অংক বিশিষ্ট। তাই প্রথম দুটি সংখ্যা হল ৩৭ কিন্তু তারপর যদি ১৪৪ বসাই তাহলে সেই বর্গটি ৫ অংকবিশিষ্ট সংখ্যা হয়ে যাবে যা সম্ভব নয়। সেজন্য শেষের ২ অংক অর্থাৎ ৪৪ বসিয়ে তার আগের ১ কে প্রথম দুই অংকের অর্থাৎ ৩৭ এর সাথে যোগ করতে হবে। তাহলে ৬২ এর বর্গ হবে ৩৮৪৪।
আবার যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবেন সেটি যদি ৫০ এর চেয়ে ছোট হয় তাহলে যত ছোট হবে ২৫ থেকে তত বিয়োগ করতে হবে তখন যা পাওয়া যাবে তা হল প্রথম দুটি সংখ্যা। তারপর ৫০ আর ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ হবে শেষ দুটি সংখ্যা।
৫. ৪৮ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫-২=২৩ (প্রথম দুটি অংক)
Step-2: ২*২=০৪ (শেষ দুটি অংক)
সুতরাং ৪৮ এর বর্গ হল ২৩০৪।
৬. ৪২ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫-৮=১৭ (প্রথম দুটি অংক)
Step-2: ৮*৮=৬৪ (শেষ দুটি অংক)
সুতরাং ৪২ এর বর্গ হল ১৭৬৪।
৭. ৩০ এর বর্গ কত?
Step-1: ২৫-২০= ৫
Step-2: ২০*২০=৪০০ (যেহেতু ৪০০ সংখ্যাটি ৩ অংকবিশিষ্ট হয়ে গেছে তাই শেষের দুটি অংক বসবে আর প্রথম অংকটিকে অর্থাৎ ৪ কে আগের মত ৫ এর সাথে যোগ করে নিতে হবে), সুতরাং ৩০ এর বর্গ হল ৯০০।
ক্যালকুলেটর ছাড়াই সহজেই দুই
অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করুন!
গণিত বিষয়ে অনেক সময় অনেক জটিল কিছু সহজে করা যায় কিন্তু
তার জন্য জানতে হয় কৌশল। সেই রকম একটা কৌশল নিয়ে আমি হাজির হয়েছি।
যে সকল দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার একক স্থানে ১,২,৩ আছে, তাদেরকে খুব সহজেই ক্যালকুলেটর ছাড়া আমরা বর্গ করতে পারি। যেমনঃ ১৩ হল একটা দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা যা আমরা সহজেই মুখে মুখেই এর বর্গ বের করে নিতে পারি। কিন্তু ৮৩ সংখ্যার বর্গ মুখে মুখে বের করতে আমাদের একটু ঝামেলায় পড়তে হবে। এই সমস্যা আমরা খুব সহজেই সমাধান করতে পারি। নিচে তিনটি উদাহরণের সাহায্যে তা দেখানো হল।
উদাহরণ – ১
৮১ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ১২ = ১ ——————(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৮২ = ৬৪ ——————(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৮+৮ = ১৬ ——————(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ৬৪( ১৬ )১
= (৬৪+১)৬১
= ৬৫৬১ যা ৮১ এর বর্গ।
উদাহরণ – ২
৪২ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ২২ = ৪ ——————(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৪২ = ১৬ ——————(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৮+৮ = ১৬ ——————(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ১৬( ১৬ )৪
= (১৬+১)৬৪
= ১৭৬৪ যা ৪২ এর বর্গ।
উদাহরণ – ৩
২৩ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৩২ = ৯ ——————(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ২২ = ৪ ——————(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৬+৬ = ১২ ——————(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ৪( ১২ )৯
= (৪+১)২৯
= ৫২৯ যা ২৩ এর বর্গ।
যে সকল দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার একক স্থানে ১,২,৩ আছে, তাদেরকে খুব সহজেই ক্যালকুলেটর ছাড়া আমরা বর্গ করতে পারি। যেমনঃ ১৩ হল একটা দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা যা আমরা সহজেই মুখে মুখেই এর বর্গ বের করে নিতে পারি। কিন্তু ৮৩ সংখ্যার বর্গ মুখে মুখে বের করতে আমাদের একটু ঝামেলায় পড়তে হবে। এই সমস্যা আমরা খুব সহজেই সমাধান করতে পারি। নিচে তিনটি উদাহরণের সাহায্যে তা দেখানো হল।
উদাহরণ – ১
৮১ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ১২ = ১ ——————(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৮২ = ৬৪ ——————(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৮+৮ = ১৬ ——————(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ৬৪( ১৬ )১
= (৬৪+১)৬১
= ৬৫৬১ যা ৮১ এর বর্গ।
উদাহরণ – ২
৪২ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ২২ = ৪ ——————(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৪২ = ১৬ ——————(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৮+৮ = ১৬ ——————(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ১৬( ১৬ )৪
= (১৬+১)৬৪
= ১৭৬৪ যা ৪২ এর বর্গ।
উদাহরণ – ৩
২৩ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৩২ = ৯ ——————(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ২২ = ৪ ——————(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৬+৬ = ১২ ——————(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ৪( ১২ )৯
= (৪+১)২৯
= ৫২৯ যা ২৩ এর বর্গ।
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বের
করার ইজি টেকনিক
মৌলিক সংখ্যাঃ যে সংখ্যাকে ১ এবং সে সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন
সংখ্যা দ্বারা ভাগ যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। অর্থাৎ ১ থেকে বড় যেসবসংখ্যার ১
ও ঐ সংখ্যা ছাড়া অপর কোন গুণনীয়ক থাকে না, তাই হল মৌলিক সংখ্যা। যেমন ২, ৫, ৭, ১১
ইত্যাদি।
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ টিঃ
২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩৭,৪১,৪৩,৪৭,৫৩,৫৯,৬১,৬৭,৭১,৭৩,৭৯,৮৩,৮৯,
এবং ৯৭।
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার যোগফল ১০৬০।
১-১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪ টি।
এভাবে ১-১০,১১-২০…… ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা
হল ৪,৪,২,২,৩,২,২,৩,২,১
Simple টেকনিকঃ
শুধু মাত্র ২ ব্যতিত অন্য কোন জোড় সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা হবে না। যেমনঃ ১২,২৮,৪৫৬
দুই বা ততোধিক সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে সেটি মৌলিক সংখ্যা হবে না। যেমনঃ ৫৫, ২৫,৬২৪৫ এগুলো ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
তাহলে প্রতি ১-১০/১০-২০/২০-৩০ ……ক্রমে ৭টি সংখ্যা থাকে যেগুলো জোড় অথবা শেষে ৫ থাকে এবং সেই সংখ্যা গুলো অমৌলিক বা মৌলিক সংখ্যা হয় নয়। যেমনঃ ২০-৩০ এর মধ্যে ২০,২২,২৪,২৫,২৬,২৮ এবং ৩০। তাহলে আর বাকি থাকল ২১,২৩,২৭ এবং ২৯ ।এগুলো মৌলিক কিনা তা জানার জন্য নিচের পদ্ধতি অবলম্বন করুন।
Simple টেকনিকঃ
শুধু মাত্র ২ ব্যতিত অন্য কোন জোড় সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা হবে না। যেমনঃ ১২,২৮,৪৫৬
দুই বা ততোধিক সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে সেটি মৌলিক সংখ্যা হবে না। যেমনঃ ৫৫, ২৫,৬২৪৫ এগুলো ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
তাহলে প্রতি ১-১০/১০-২০/২০-৩০ ……ক্রমে ৭টি সংখ্যা থাকে যেগুলো জোড় অথবা শেষে ৫ থাকে এবং সেই সংখ্যা গুলো অমৌলিক বা মৌলিক সংখ্যা হয় নয়। যেমনঃ ২০-৩০ এর মধ্যে ২০,২২,২৪,২৫,২৬,২৮ এবং ৩০। তাহলে আর বাকি থাকল ২১,২৩,২৭ এবং ২৯ ।এগুলো মৌলিক কিনা তা জানার জন্য নিচের পদ্ধতি অবলম্বন করুন।
মৌলিক সংখ্যা বের করার পদ্ধতিঃ
১ম পদ্ধতিঃ ১-১০
এর মধ্যে যে ৪ টা মৌলিক সংখ্যা আছে, (২,৩,৫,৭) এবং ২,৩,৫,৭ এর যোগফল ১৭ দিয়ে ভাগ
না গেলে ঐ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা। যেমনঃ ৯৭ কে (২,৩,৫,৭,১৭) দিয়ে ভাগ যায় না, তাই
এটি মৌলিক সংখ্যা। কিন্তু ১৬১ কে (২,৩,৫,৭,১৭) এর মধ্যে ৭ দিয়ে ভাগ যায়। তাই ১৬১
মৌলিক সংখ্যা না।
২য় পদ্ধতিঃ যে
সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা কিনা জানতে চাওয়া হবে সেটির(√) বের
করুন। রুট সংখ্যাটির সামনে ও পিছনের মৌলিক সংখ্যাটি দিয়ে ঐ সংখাকে ভাগ যায় কিনা
দেখুন। যদি ভাগ যায় তবে মৌলিক সংখ্যা না। যেমন ১৪৩ এর রুট করলে পাওয়া যায় ১১.৯৬।
এখানে ১১ নিজে মৌলিক সংখ্যা এবং এর পরের মৌলিক সংখ্যা হল ১৩। এই দুইটি সংখ্যা দিয়ে
১৪৩ কে ভাগ যায়। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
অর্থাৎ ২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭ দিয়ে ভাগ না গেলে বুঝতে হবে সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।
অর্থাৎ ২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭ দিয়ে ভাগ না গেলে বুঝতে হবে সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।
বিঃদ্রঃ নিজের অর্থ,সময় ও শ্রম ব্যয় করে আপনাদের উপকার করে যাচ্ছি। পারলে আমার একটু উপকার করুন- এই ব্লগের উপরে ও নীচে কিছু এ্যাড আছে। আপনি শুধু এই এ্যাডে একবার ক্লিক করুন। এতে আপনার অর্থ ও সময় ব্যয় হবে না। ফ্রি ফ্রি অন্যের জিনিস নিয়ে নিজে উপকৃত হবেন আর অন্যের উপকার করবেন না- সেটাতো স্বার্থপরতার লক্ষণ।
Md.
Izabul Alam-Online Principal
izabulalam@gmail.com
01716508708,
Gulshan, Dhaka, Bangladesh
No comments:
Post a Comment