বিসিএস ও প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার গণিতের স্পেশাল সাজেশন --৬২তম পর্ব-তৃতীয় অংশ

বিসিএস ও প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার গণিতের স্পেশাল সাজেশন

গণিত এর সকল সমস্যার সমাধান করার সহজ উপায়-৬২তম পর্ব-তৃতীয় অংশ

(গণিতে আর ফেল নয়-১০০% পাশ)

চাকরি পরীক্ষায় দেখা যায় শতকরা ৯৫% শিক্ষার্থী গণিতে ফেল করে। বিশেষ করে মেয়েরা। তাই যারা গণিত আর ইংরেজি বিষয় নিয়ে মহাটেনশনে আছেন তাদের জন্য এই পর্বগুলো দেয়া হলো। পরীক্ষায় নিজের মেধায় চাকরি পেতে চাইলে আমার সকল পর্বগুলো দেখতে থাকুন।

BANGLADESH ONLINE UNIVERSITY এর পক্ষ থেকে সকলকে জানাই আন্তরিক শুভেচ্ছা-

 Md.Izabul Alam-M.A, C.in.Ed. Online Principal, (Return 3 times BCS VIVA) Ex-Principal, Rangpur Modern Pre-Cadet and Kindergarten, Ex-Executive Director, RHASEDO NGO, Ex-Headmaster, Velakopa Govt. Primary School, Palashbari, Gaibandha, Ex-Instructor, Mathematics, URC, Palashbari, Gaibandha, Ex- Sub Inspector (Detective/Intelligence-DGFI), Ex-Executive & In Charge (Recruitment & Training School-Securex), Senior Executive-(Recruitment & Training School-HRD).

Bangladesh Online University ( যা সকল বিষয়ের সাধারণ জ্ঞানের তথ্য ভান্ডার)  একটি সেবামূলক Online ভিত্তিক ফ্রি শিক্ষা প্রতিষ্ঠান, যা সকলের জন্য উন্মুক্ত। তাই উপকৃত হলে দোয়া করতে ভুলবেন না।

 Md.Izabul Alam, Online Principal, Gulshan- Dhaka, Bangladesh.

01716508708, izabulalam@gmail.com

গণিতের গুরুত্বপূর্ণ  প্রশ্নােত্তর
১. যদি, ৯×৭ = ৩৫৪৫ এবং ৪x৩ = ১৫২০ হয় তৰে, ৬x৮=? Answer: ৩০৪o                                                   
২. একটি দ্রব্য 180 টাকায় বিক্রয় করায় 10% ক্ষতি হলাে। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য- Answer: 200 টাকা                                    

৩. c = {x:x ধণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 18 }; c সেটের উপাদানগুলো হবে- Answer: 1,2,3,4

৪. ০.৪×০.০২×০.০৮=? Answer: (ঘ) ০.০০০৬৪

৫. |1-2x| <1 এর সমাধান –Answer: 0< x<l

৬. ঘড়িতে যখন ৮ টা বাজে তখন ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোন কত ডিগ্রী হবে? Answer: ১২০°

৭. দুইটি সংখ্যার অনুপাত7:5 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? Answer: 4

৮. বার্ষিক শতক 10% হারে 1000 টাকার 2 বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত? Answer: ১০ টাকা

০৯ . একজন লােক A অবস্থান থেকে হেটে ডান দিকে ১০ ফুট, অত:পর বামদিকে ২০ফুট, তারপর বামদিকে ২০ ফুট, এবং সবশেষে বামদিকে ২০ ফুট গিয়ে B অবস্থানে পৌছিল। A ও B এর মধ্যকার দুরত্ব কত ফুট? Answer: ১০ ফুট

১০. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা? Answer: ৪৭

১১. যদি 2×3 =812, 4×5 =1620 হয় তবে 6×7=? Answer: 2428

১২. 1/√2, 1, √2.. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে? Answer: ৯ তম পদ

১৩. 2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি? Answer: -3/2<x<-1

১৪. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 18 সেমি. এবং প্রস্থ 10 সেমি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 25 সেমি. করা হলাে। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে? Answer: 7.2 সেমি

১৫. 125(√5)^2x = 1 হলে x এর মান কত? Answer:  -3

১৬. চিনির মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়াতে কোনো একটি পরিবার চিনি খাওয়া এমনভাবে কমালো যে, চিনি বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পেল না। ঐ পরিবার চিনি খাওয়ার খরচ শতকরা কত কমিয়েছিলো? [১০, ১২, ২৩, ৩৬ তম বিসিএস] উত্তরঃ ২০%

১৭.১ কুইন্টালে কত কেজি হবে? [১৪তম বিসিএস,[পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৫, ’০৭, ’০৯, ‘১১] উত্তরঃ ১০০ কেজি।

৩. টাকায় ৩টি করে আম ক্রয় করে, টাকায় ২ টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? [১০,২৬, ৩২ তম বিসিএস] উত্তরঃ ৫০%

১৮. ১ মিটারে কত ইঞ্চি? [ ১১, ২৫ তম বিসিএস, নন ক্যাডার জব-০৫, ০৬, ১১, ১২, ১৫] উত্তরঃ ৩৯.৩৭ উঞ্চি।

১৯. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত? [১৮ তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৬, ‘১২] উত্তরঃ ৫০৫০।

২০. a+b+c = 0 হলে, aᶾ+bᶾ+cᶾ এর মান কত? [১০ ম বিসিএস, নন ক্যাডার জব- ১৬, ১৫, ১৪, ১২] উত্তরঃ 3abc

২১. ত্রিভুজের দু’টি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের ত্রিভুজ হবে? [পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৩, ’১১, ’১২, ’১৩, ’১৩, ‘১৩] উত্তরঃ সমকোণী।

২২. বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? [৩২, ২৭ তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’১৪, ’১৪, ’১৫, ‘১৫] উত্তরঃ ৯ গুণ।

২৩. একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ ? [২১তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-০৩, ’০৭, ’১০, ’১১, ’১১, ’১৩, ’১৩, ‘১৪] উত্তরঃ ১৬ গুণ।

২৪. একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ ?
[২০তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৮, ’১০, ’১১, ’১২, ’১২, ’১৩] উত্তরঃ ৪ গুণ।

২৫. বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কত হবে? [পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৪, ’০৬, ’০৯, ’১৩, ’১৩, ’১৩, ১৩, ’১৪, ’১৪, ‘১৪] উত্তরঃ ২২/৭

২৬. সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কী ? [১৪তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৩, ’০৭, ’১২, ’১২, ’১৩, ‘১৪] উত্তরঃ ভূমি ×উচ্চতা।

২৭. কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?
[৩৩তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৭, ’০৮, ’১০, ’১২, ’১৩, ‘১৪] উত্তরঃ ৩৬০⁰

২৮. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে উহার অতিভুজ কত হবে ?
[১৪তম বিসিএস , পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৬, ‘ ০৯, ’১১, ‘১৩] উত্তরঃ ৫ সেন্টিমিটার।

২৯. সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি a হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?
[১৪তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’১০, ’১১, ’১৪, ‘১৪] উত্তরঃ (√3)/4 a²

৩০. স্ত্রী স্বামীর চেয়ে ৫ বছরের ছোট। স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ। ৪ বছর পর ছেলের বয়স হবে ১১। বর্তমানে স্বামীর বয়স কত?
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে,
৪ বছর পর ছেলের বয়স ১১ বছর হবে।
.’. বর্তমানে ছেলের বয়স (১১–৪)=৭ বছর
.’. স্ত্রীর বয়স (৭×৪)=২৮ বছর
বর্তমানে স্বামীর বয়স=(২৮+৫)= ৩৩ বছর
৩১. সুদের হার ১৫% থেকে কমে ১৩% হওয়ায় এক ব্যক্তির ৬ বছরের সুদ ৮৪ টাকা কমে গেলো। তার মূলধন কত?
সমাধানঃ-
সুদের হার কমে (১৫–১৩)%=২%
১ বছরে সুদ কমে ২ টাকা
.’. ৬ বছরে সুদ কমে (৬×২)=১২ টাকা
১২ টাকা সুদ কমলে আসল ১০০ টাকা
৮৪ টাকা সুদ কমলে আসল (১০০×৮৪)/১২
=৭০০ টাকা
৩২. একজন দোকানদার প্রতি হালি ডিম ২৫ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি হালি ৫৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ-
১ হালি=৪ টি
৪ টি ডিমের ক্রয়মূল্য ২৫ টাকা
.’.১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য ২৫/৪ টাকা
আবার,
৮ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য ৫৬ টাকা
.’. ১ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য (৫৬/৮)=৭ টাকা
.’. লাভ= (৭–২৫/৪)টাকা
= (২৮–২৫)/৪
= ৩/৪
২৫/৪ টাকায় লাভ হয় ৩/৪ টাকা
.’. ১ টাকায় লাভ হয় (৩×৪)/(৪×২৫)
.’.১০০ টাকায় লাভ হয় (৩×৪×১০০)/(৪×২৫)
=১২ টাকা
৩৩. একটি ছাগল ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। ছাগলটি আরও ৮০০ টাকা বেশি বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। ছাগলটির ক্রয় মূল্য কত?
সমাধান :
ছাগলটির ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা হলে, ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য (১০০ −৮) টাকা বা, ৯২ টাকা।
আবার , ৮% লাভে বিক্রয় মূল্য (১০০+৮ ) টাকা বা ১০৮ টাকা।
∴বিক্রয় মূল্য বেশি হয় (১০৮−৯২) টাকাবা১৬টাকা।
বিক্রয় মূল্য ১৬ টাকা বেশি হলে ক্রয় মূল্য = ১০০ টাকা
” “ ১ ” ” ” ” ” = ১০০×১৬ টাকা
“ “ ৮০০ ” ” ” “ “ = ১০০× ৮০০/১৬ টাকা
= ৫০০০ টাকা
∴ছাগলটির ক্রয় মূল্য ৫০০০ টাকা।
৩৪. ৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?
সমাধানঃ-
৩০ লিটার মিশ্রণে এসিড : পানি = ৭:৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ৭+৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = (৩০ এর ৭/১০) লিটার
= ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ এর ৩/১০) লিটার
= ৯ লিটার
ধরি,
x লিটার পানি মিশ্রত করায় অনুপাত ৩:৭ হয়
শর্তমতে, ২১: (৯+x) = ৩:৭
বা, ২১/৯+x = ৩/৭
বা, ২৭+৩x = ১৪৭
বা, ৩x = ১২০
বা, x = ৪০
অতএব, ৪০ লিটার পানি মিশাতে হবে।
৩৫. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ৮:৩। ১০ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিলো?
সমাধানঃ-
বর্তমানে তাদের বয়সের অনুপাত = ৮:৩
অনুপাতের সমষ্টি = (৮+৩)= ১১
পিতার বয়স = ( ৬৬ এর ৮/১১) = ৪৮ বছর
পুত্রের বয়স = ( ৬৬ এর ৩/১১) = ১৮ বছর
আবার,
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স = (৪৮–১০) = ৩৮ বছর
১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স = (১৮–১০) = ৮ বছর
.’. ১০ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ৩৮:৮
= ১৯: ৪
৩৬. ১১ জন লোকের গড় ওজন ৭০ কেজি। ৯০ কেজি ওজনের একজন লোক চলে গেলে বাকিদের গড় ওজন কত হবে?
সমাধানঃ-
১১ জন লোকের গড় ওজন = ৭০ কেজি
.’. ১১ জন লোকের ওজনের সমষ্টি = (১১×৭০) = ৭৭০ কেজি
৯০ কেজি ওজনের একজন লোক চলে গেলে বাকিদের ওজন = (৭৭০–৯০) = ৬৮০ কেজি
.’. ১০ জনের গড় ওজন = (৬৮০/১০)= ৬৮ কেজি
৩৭. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 25 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট 75 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা কত?
সমাধানঃ-
ধরি,
স্কুলে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা = ক জন
১ জনে টাকা দিল = ক+ ২৫ পঁয়সা
ক জনে টাকা দিল= ক ( ক+২৫) পঁয়সা
= ক^২ + ২৫ক পঁয়সা
প্রশ্নমতে,
ক^২ + ২৫ক = (৭৫ x ১০০) (১ টাকা=১০০ পঁয়সা)
বা,ক^২ + ২৫ক -৭৫০০=০
বা,ক^২ +১০০ক-৭৫ক-৭৫০০ =০
বা,ক ( ক+১০০)-৭৫(ক+১০০)=০
বা,(ক+১০০) (ক-৭৫)=০
এখন,
ক+১০০=০
বা,ক=-১০০[গ্রহণযোগ্য নয়]
আবার,
ক-৭৫=০
বা, ক=৭৫
সুতরাং ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা ৭৫ জন।
৩৮. একটি পার্কে একটি বট গাছ ও একটি পাইন গাছ আছে। ১৫০ বছর পূর্বে গাছ দুইটির বয়সের যোগফল ছিল ২৯৬১ বছর। বর্তমানে পাইন গাছটির বয়স ১৪৩২ বছর। ২০০ বছর পর বট গাছটির বয়স কত হবে?
সমাধানঃ-
১৫০ বছর পূর্বে গাছ দুটির বয়স ছিল = ২৯৬১ বছর
বর্তমানে গাছ দুটির বয়স (১৫০×২) = ৩০০
বা, (২৯৬১+৩০০) বছর
=৩২৬১ বছর
বর্তমানে বট ও পাইন গাছে মোট বয়স =৩২৬১ বছর
বর্তমানে পাইন গাছের বয়স =১৪৩২ বছর
সুতরাং , বর্তমানে বট গাছের বয়স =১৮২৯ বছর
অতএব,
বর্তমানে বট গাছের বয়স ১৮২৯ বছর হলে
২০০ বছর পর বট গাছের বয়স হবে =(১৮২৯+২০০) বছর
=২০২৯ বছর ।
উত্তর: ২০২৯ বছর ।
৩৯. দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ.সা.গু. ১৩। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত?
সমাধানঃ-
আমরা জানি,
সংখ্যা দুটির গুণফল= সংখ্যা দুটির ল.সা.গু.Xসংখ্যা দুটির গ.সা.গু.
অতএব,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু.= সংখ্যা দুটির গুণফল÷সংখ্যা দুটির গ.সা.গু.
প্রশ্নমতে,
৩৩৮০= সংখ্যা দুটির ল.সা.গু.X১৩
অতএব, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু.= ৩৩৮০÷১৩
= ২৬০।
উঃ ২৬০
৪০. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭৪ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিলো ৭:২। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধান:-
ধরি,
পিতার বয়স x বছর
.’. পুত্রের বয়স = (৭৪-x বছর)
শর্তমতে,
(x- ১০)/(৭৪-x-10)= ৭/২
বা, (x- ১০)/(৬৪-x)= ৭/২
বা, ২x- ২০=৪৪৮-৭x
বা, ৯x= ৪৬৮
বা, x= ৫২ বছর
.’. পিতার বয়স ৫২ বছর
এবং পুত্রের বয়স=(৭৪-৫২)=২২ বছর
১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত= (৫২+১০):(২২+১০)
=৬২:৩২
=৩১:১৬(উত্তর)
৪১. ক ও খ এর বেতনের অনুপাত ৭:৫। ক, খ অপেক্ষা ৪০০ টাকা বেশি বেতন পেলে, খ এর বেতন কত?
সমাধানঃ-
ধরি, ক ও খ এর বেতন যথাক্রমে ৭x ও ৮x
শর্তমতে,
৭x- ৫x= ৪০০
বা,২x = ৪০০
বা, x= ২০০
.’. ৫x= ( ২০০×৫)
= ১০০০
উত্তরঃ ১০০০ টাকা
৪২. পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুন। ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ১০ গুন ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ-
মনেকরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর ।
তাহলে পিতার বর্তমান বয়স 4x বছর ।
6 বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল x-6 বছর ।
6 বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল 4x-6 বছর ।
শর্তমতে

৪৩.পিতা পুত্রের চেয়ে ৩২ বছরের বড়। ৭ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ২ গুণ অপেক্ষা ৫ বছর বেশি হবে। ৩ বছর পর পিতার বয়স কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর।
৭ বছর পর পুত্রের বয়স= (ক+৭) বছর।
৭ বছর পর পিতার বয়স= (ক+৩২)+৭ বছর= (ক+৩২+৭) বছর= (ক+৩৯) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৩৯= ২(ক+৭)+৫
বা, ক+৩৯= ২ক+১৪+৫
বা, ক-২ক= ১৯-৩৯
বা, -ক= -২০
বা, ক= ২০
ক = ২০
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর=(২০+৩২) বছর= ৫২ বছর।
৩ বছর পর পিতার বয়স=(৫২+৩) বছর= ৫৫ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫৫ বছর।
৪৪. দুই বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ। দুই বছর বাদে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে বাবা ও তার পুত্রে বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর।
প্রশ্নমতে,
১৪ (ক-২) = ক + ২৬ -২
বা, ১৪ক – ২৮ = ক + ২৪
বা, ১৪ক – ক = ২৪ + ২৮
বা, ১৩ক = ৫২
বা, ক = ৫২÷১৩
বা, ক = ৪
ক = ৪
পুত্রের বয়স= ক বছর= ৪ বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর= (৪ + ২৬) বছর= ৩০ বছর।
নির্ণেয় বাবার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত= ৩০ : ৪ = ১৫ : ২
উত্তর: বাবার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৫ : ২
৪৫.পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর; যখন পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে ১০২ বছর। পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= খ বছর।
যখন পুত্রের বয়স ক হবে তখন পিতার বয়স হবে= {ক+(ক-খ)} বছর।
১ম শর্তমতে,
ক+খ=৫০……………………(১)
২য় শর্তমতে,
ক + {ক+ (ক-খ)} = ১০২
বা, ক+ক+ক-খ= ১০২
বা, ৩ক-খ= ১০২
৩ক-খ= ১০২………………….(২)
(১) নং ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই-
ক + খ = ৫০
৩ক –খ = ১০২
_______________________________
৪ক = ১৫২
বা, ক= ১৫২÷৪
ক= ৩৮
(১) নং সমীকরণে ক এর মান বসিয়ে পাই-
ক+খ= ৫০
বা, ৩৮+খ= ৫০
বা, খ= ৫০-৩৮
বা, খ= ১২
খ = ১২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৩৮ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= খ বছর= ১২ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৩৮ বছর ও পুত্রের বয়স ১২ বছর।
৪৬.পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৭×৩) বছর= ১১১ বছর।
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৫×২) বছর= ৭০ বছর।
নির্ণেয় মাতার বয়স= (১১১-৭০) বছর= ৪১ বছর।
উত্তর: মাতার বয়স ৪১ বছর।
৪৭. পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২০ বছর হলে পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২৭×৩) বছর= ৮১ বছর।
দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২০×২) বছর= ৪০ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৮১-৪০) বছর= ৪১ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪১ বছর।
৪৮. পিতা ও দুই পুত্রের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩০×৩) বছর= ৯০ বছর।
দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (২০×২) বছর= ৪০ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৯০-৪০) বছর= ৫০ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫০ বছর।
৪৯. পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৬×৩) বছর= ১০৮ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৪৫×২) বছর= ৯০ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (১০৮-৯০) বছর= ১৮ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ১৮ বছর।
৫০. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা ও মাতার গড় বয়স কত?
সমাধানঃ
মাতার বয়স যেহেতু পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি।
সুতারাং পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৬০+২০) বছর= ৮০ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের গড়= = = ৪০ বছর।
নির্নেয় পিতা ও মাতার গড় বয়স= ৪০ বছর।
উত্তর: পিতা ও মাতার গড় বয়স ৪০ বছর।
৫১. পাঁচ সন্তানের বয়সের গড় ৭ বছর এবং পিতাসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (৭×৫) বছর= ৩৫ বছর।
পিতাসহ পাঁচ সন্তান বা ৬ জনের বয়সের সমষ্টি= (১৩×৬) বছর= ৭৮ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৭৮-৩৫)=৪৩ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৩ বছর।
৫২. ৫ জন বালকের বয়সের গড় ১০ বছর। ঐ গলে আরও দুজন বালক যোগ দিলে তাদের সকলের বয়সের গড় হয় ১২ বছর। যোগদানকারী বালক দুটি যদি সমবয়সী হয় তবে তাদের প্রত্যেকের বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১০×৫) বছর= ৫০ বছর।
(৫+২) বা ৭ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১২×৭) বছর= ৮৪ বছর।
যোগদানকারী বালকের বয়সের সমষ্টি= (৮৪-৫০) বছর= ৩৪ বছর।
যোগদানকারী প্রত্যেক বালকের বয়স= বছর= ১৭ বছর।
উত্তর: প্রত্যেক বালকের বয়স ১৭ বছর।
৫৩.  পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স একত্রে ৮০ বছর। ৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৫ গুণ ছিল। তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত কত?
সমাধানঃ
৪ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর।
৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স= ৫ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক+৪)+(৫ক+৪)=৮০
বা, ক+৪+৫ক+৪=৮০
বা, ৬ক+৮=৮০
বা, ৬ক= ৮০-৮
বা, ৬ক= ৭২
বা, ক= ৭২÷৬
বা, ক= ১২
ক= ১২
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর=(৫×১২+৪)বছর=(৬০+৪) বছর= ৬৪ বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর= (১২+৪) বছর= ১৬ বছর।
নির্ণেয় তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত= ৬৪ : ১৬
উত্তর: তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৬৪ : ১৬
৫৪. পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পুত্রের বয়স ১৬ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
প্রশ্নমতে,
ক : ১৬ = ১১ : ৪
বা, ক × ৪ = ১৬ × ১১
বা, ৪ক = ১৭৬
বা, ক = ১৭৬÷৪
বা, ক = ৪৪
ক = ৪৪
নির্ণেয় পিতার বয়স= ৪৪ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৪ বছর।
৫৫. পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পিতার বয়স ৪৪ বছর হলে, পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ১১ক বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর।
প্রশ্নমতে,
১১ক = ৪৪
বা, ক = ৪৪÷১১
বা, ক = ৪
ক = ৪
পিতার বয়স= ১১ক বছর= (১১×৪) বছর= ৪৪ বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর= (৪×৪) বছর= ১৬ বছর।
নির্ণেয় পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৪৪+১৬) বছর= ৬০ বছর।
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর।
৫৬. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭: ২। পিতার বর্তমান বয়স ৪২ বছর, ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স কত ছিল?
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৪২×২
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৮৪
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স = ৮৪÷৭
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২
পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২ বছর।
নির্ণেয় ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১২–১০) বছর= ২ বছর।
উত্তর: ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল ২ বছর।
৫৭. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬৩ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ৭: ২। ৯ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিল?
সমাধানঃ
অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি= (৭+২) = ৯
পিতার বয়স= (৬৩ এর ৭/৯ ) = ৪৯ বছর।
পুত্রের বয়স= (৬৩ এর ২/৯) = ১৪ বছর।
৯ বছর পূর্বে পিতার বয়স= (৪৯ -৯) বছর= ৪০ বছর।
৯ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১৪ -৯) বছর= ৫ বছর।
৯ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত= ৪০ : ৫= ৮ : ১
উত্তর: পিতার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৮ : ১
৫৮. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭৪ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিল ৭: ২। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল= (ক-১০) বছর।
১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল= (৭৪-ক-১০) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক-১০) : (৭৪-ক-১০) = ৭ : ২
বা, ২(ক-১০) = ৭ ( ৬৪-ক)
বা, ২ক-২০ = ৪৪৮-৭ক
বা, ২ক+৭ক = ৪৪৮+২০
বা, ৯ক = ৪৬৮

বা, ক = ৪৬৮÷৯
বা, ক = ৫২
ক = ৫২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৫২ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর= (৭৪-৫২) বছর= ২২ বছর।
১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত= (৫২+১০) : (২২+১০)= ৬২ : ৩২ = ৩১ : ১৬
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩১ : ১৬

লাভ - ক্ষতি সংক্রান্ত সকল অংক করুন মাএ ১০ সেকেন্ডে
৫৯. আইটেমঃ ১
একটি দ্রব্য নির্দিষ্ট % লাভে/ক্ষতিতে বিক্রয় করা হয়। বিক্রয় মূল্য ..... টাকা বেশি হলে % লাভে/ক্ষতি হয় ।ক্রয়মূল্য নির্ণয় করতে হবে।
উদা: একটি মোবাইল ১০ % ক্ষতিতে বিক্রয় করা হয়। বিক্রয় মূল্য ৪৫ টাকা বেশি হলে ৫% লাভে হত ।ক্রয়মূল্য নির্ণয় করতে হবে।
টেকনিক :
ক্রয়মূল্য ={১০০xযত বেশি থাকবে}/ উল্লেখিত শতকরা হারদুটির যোগফল)
অঙ্কটির সমাধান:
ক্রয়মূল্য ={১০০x৪৫}/ {১০+৫) =৪৫০০/১৫ =৩০০ (উত্তর)
নিজে নিজে করুন
১। একটি কলম ১০ % ক্ষতিতে বিক্রয় করা হয়। বিক্রয় মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভে হত ।ক্রয়মূল্য নির্ণয় করতে হবে। (২০০)
২। একটি কম্পিউটার২০ % ক্ষতিতে বিক্রয় করা হয়। বিক্রয় মূল্য ১৫০০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভে হত ।ক্রয়মূল্য নির্ণয় করতে হবে।(৬০০০)

৬০. আইটেমঃ ২
-কোন দ্রব্যের মূল্য নির্দিষ্ট ৫% কমে যাওয়ায় দ্রব্যটি ৬০০০ টাকা পূর্ব অপেক্ষা ১ কুইন্টাল বেশি পাওয়া যায়। ১ কুইন্টাল এর বর্তমান মূল্য কত?
টেকনিক :
বর্তমান মূল্য: শতকরা হার/১০০) x{যে টাকা দেওয়া থাকবে/ কম-বেশি সংখ্যার পরিমাণ}x যত পরিমাণের মূল্য বাহির করতে বলা হবে।
উদাহরণটির সমাধান:
বর্তমান মূল্য = (৫/১০০)x(৬০০০/১)x১ =৭২০ টাকা । (উত্তর)
নিজে করুন:
৩। কোন দ্রব্যের মূল্য নির্দিষ্ট ৩০% কমে যাওয়ায় দ্রব্যটি ৬০০০ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ৬ কুইন্টাল বেশি পাওয়া যায়। ১ ০কুইন্টাল এর বর্তমান মূল্য কত? (উত্তর: ৩০০০০টাকা)
৪। কলার মূল্য নির্দিষ্ট ২৫% কমে যাওয়ায় দ্রব্যটি ১০০ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ২৫ টি বেশি পাওয়া যায়। ৩ হালি কলার বর্তমান মূল্য কত?( উত্তর:১২)
অঙ্কের ধরণ:

টাকায় নির্দিষ্ট দরে নির্দিষ্ট পরিমাণ দ্রব্য কিনে সেই টাকায় নিদিষ্ট কম-বেশি দরে বিক্রি করায় শতকরা লাভ -ক্ষতির হার নির্ণয় করতে হবে টেকনিক:
লাভ/ক্ষতি = ১০০/ বিক্রির সংখ্যা
উদা: টাকায় ৩টি করে লেবু কিনে ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা লাভ কত?(২৬তম বিসিএস)
টেকনিক:
লাভ= ১০০/ বিক্রির সংখ্যা
=১০০/২
=৫০% (উত্তর)
নিজে করুন:
১। টাকায় ৫টি করে লেবু কিনে ৪টি করে বিক্রি করলে শতকরা লাভ কত?
২। টাকায় ২১টি করে লেবু কিনে ২০টি করে বিক্রি করলে শতকরা লাভ কত?
৩।টাকায় ৯টি করে লেবু কিনে ১০টি করে বিক্রি করলে শতকরা ক্ষতি কত?
৪।টাকায় ৪৯টি করে লেবু কিনে ৫০টি করে বিক্রি করলে শতকরা লাভ কত?
টেকনিকঃ ১
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার হ্রাস পাওয়ায়–
# দ্রব্যের_বর্তমান_মূল্য = (হ্রাসকৃত মূল্যেহার X মোট মূল্য)÷(১০০ + যে পরিমাণ পণ্য বেশি হয়েছে)
# উদাহরণঃচালের মূল্য ১২% কমে যাওয়ায় ৬,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায়। ১ কুইন্টাল চালের দাম কত?
# সমাধানঃদ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (১২ X ৬০০০)÷(১০০ X ১) = ৭২০ টাকা(উঃ)
----------------------------------------------
→ টেকনিকঃ ২
মূল্য বা ব্যবহার হ্রাস-বৃদ্ধির ক্ষেত্রে–
# হ্রাসের_হার =(বৃদ্ধির হার X হ্রাসের হার)÷১০০
# উদাহরণঃচিনির মূল্য ২০% কমলো কিন্তু চিনির ব্যবহার ২০%বেড়ে গেল এতে চিনি বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়বে বা কমবে?
# সমাধানঃহ্রাসের হার = (২০ X ২০)÷১০০= ৪%(উঃ)
----------------------------------------------
→ টেকনিকঃ ৩
পূর্ব মূল্য এবং বর্তমান মূল্য অনুপাতে দেওয়া থাকলে মূল্যের শতকরা হ্রাস বের করতে হলে –
# শতকরা_মূল্য_হ্রাস
=(অনুপাতের বিয়োগফল X (১০০÷অনুপাতের প্রথম সংখ্যা)
# উদাহরণঃমাসুদের আয় ও ব্যয় এর অনুপাত ২০:১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?
# সমাধানঃশতকরা মূল্য হার = (২০-১৫) X (১০০÷২০)= ২৫%(উঃ)
টাইপ ১ঃ (যদি দাম বাড়ে)
চালের দাম যদি ৪০% বেড়ে যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
টেকনিকঃ
কমানো % = (100 × r) / (100 + r) (দাম বাড়লে ফর্মুলায় প্লাস ব্যাবহার হয়েছে)
এখানে r = 40%
Answer = (100 × 40)/(100 + 40) = 28.57%
টাইপ ২ঃ (যদি দাম কমে)
চালের দাম যদি ৪০% কমে যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত বাড়ালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
টেকনিকঃ
বাড়ানো % = (100 × r)/(100- r) (দাম কমলে ফর্মুলায় মাইনাস ব্যাবহার হয়েছে)
এখানে r = 40%
Answer = (100 × 40)/(100- 40) = 66.66%
টাইপ ৩ঃ (যদি r এর মান ২০% দেয়া থাকে তবে বাড়ুক কমুক যে টাইপ সমস্যাই দেয়া হোক না কেন চোখ বন্ধ করে উত্তর হবে ২৫%, আর ২৫% দেয়া থাকলে উত্তর হবে ২০% )
Example 1: চালের দাম যদি 25% বেড়ে যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
উত্তরঃ 20%
যদি ২৫% কমে দেওয়া থাকে তাহলে উত্তর হবে ৩৩.৩৩%
Example 2: চালের দাম যদি 20% বেড়ে যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
উত্তরঃ 25%

৬১. গণিতের বেসিক থেকে কিছু প্রশ্ন প্রায় সব চাকরির পরীক্ষায় থাকেঃ
১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি? — ৬ সমকোণ
২.একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি— ৭২০ ডিগ্রি
৩.বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় — ৯গুন
৪.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে — অন্ত:কেন্দ্র
৫.স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ– –৯০ ডিগ্রী
৬.তিন কোণ দেওয়া থাকলে যে সকল ত্রিভুজ আঁকা যায় তাদের বলে— সদৃশ ত্রিভুজ
৭.ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি –দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম
৮.কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলি সমান হলে , ত্রিভুজটি— সমদ্বিবাহু
৯. ২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে ?— প্রবৃদ্ধ কোণ
১০.একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দু,টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি–১৮০ ডিগ্রি
১১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?— ৬ সমকোণ
১২.একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি— ৭২০ ডিগ্রি
১৩.বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়— ৯গুন
১৪.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে— অন্ত:কেন্দ্র
১৫.স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ– –৯০ ডিগ্রী
১৬. জ্যা’ শব্দের অর্থ কি? =ভূমি
১৭. দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?=সম্পূরক কোণ
১৮. একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে =দুই সমকোণ(১৮০°)
১৯. <A ও <B পরস্পর সম্পূরক কোণ ৷ <A=115° হলে <B=কত? =65°
২০. দুটি পূরক কোণের সমষ্টি কত? =৯০°
২১. সম্পূরক কোণের মান কত? =১৮০°
২২. কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি— ৩৬০ ডিগ্রী
২৩.সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩,৪ সেমি হলে, অতিভুজের মান কত?— ৫ সে.মি
২৪. একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে , বর্গক্ষেত্র দু.টির কর্ণের অনুপাত কত?
–৪:১
২৫. রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিকন্ডিত করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ— ৯০ ডিগ্রী বৃত্ত সম্পর্কিত তথ্য
২৬. পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কে বলা হয়? =পরিধি
২৭. বৃত্তের পরিধির সূত্র =2πr
২৮.পরিধির যেকোন অংশকে বলা হয় =চাপ
২৯.পরিধির যেকোন দুই বিন্দুর সংযোগ সরলরেখাকে বলা হয় =জ্যা( বৃত্তের ব্যাস হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা)
৩০. বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা-ই =ব্যাস
৩১. কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা হয় =ব্যাসার্ধ
বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু ধারণাঃ
৩২.একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোন বৃত্ত আকা যায়না।
৩৩. দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।

৩৪. একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।
৩৫.বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।
৩৬.বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
৩৭.বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
৩৮.বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।
৩৯.বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
৪০.বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
৪১.কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।
৪২.অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।
বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:
৪৩.বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =πr² ( যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
৪৪.গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =4πr²
৪৫.গোলকের আয়তন =4÷3(πr³)
৪৬. সর্বপ্রথম সেট তত্ত্বের ধারণা দেন =জর্জ ক্যান্টর
৪৭. ভেনচিত্র কে আবিষ্কার করেন =জনভেন
৪৮. একক সেটের উপাদান সংখ্যা =১টি
৪৯. সেটকে প্রকাশ করার কয়টি পদ্ধতি আছে =২টি
৫০. : ” দ্বারা কি বোঝায় =যেন
Father of গনিতঃ
১. সংখ্যাতত্ত্ব—- পিথাগোরাস
২. জ্যামিতি——ইউক্লিড
৩. ক্যালকুলাস —– নিউটন
৪. ম্যাট্রিক্স ——– কেইসে
৫. ত্রিকোণমিতি—— হিপ্পারচাস
৬. পাটিগণিত—— আর্যভট্র
৭. বীজগণিত ——- মুসা আল খারিজমী
৮. লগারিদম——জন নেপিয়ার
৯. সেটতত্ত্ব——–জর্জ ক্যান্টর
১০. আলগরিদম——-ব্রহ্মগুপ্ত
১১. শূন্যে আবিষ্কারক ——ব্রহ্মগুপ্ত ও আর্যভট

সমাপ্ত-৬৩তম ইংরেজি প্রশ্নোত্তর পর্ব- দেখুন, যেগুলো থেকে যেকোনো চাকরি পরীক্ষায় ১০০% কমন থাকবে-ইনশা আল্লাহ

বিঃদ্রঃ নিজের অর্থ,সময় ও শ্রম ব্যয় করে আপনাদের উপকার করে যাচ্ছি। পারলে আমার একটু উপকার করুন- এই ব্লগের উপরে ও নীচে কিছু এ্যাড আছে। আপনি শুধু এই এ্যাডে একবার ক্লিক করুন। এতে আপনার অর্থ ও সময় ব্যয় হবে না। ফ্রি ফ্রি অন্যের জিনিস নিয়ে নিজে উপকৃত হবেন আর অন্যের উপকার করবেন না- সেটাতো স্বার্থপরতার লক্ষণ।

Md. Izabul Alam-Online Principal

izabulalam@gmail.com

01716508708, Gulshan, Dhaka, Bangladesh

চাকরি পরীক্ষার জন্য গণিতের স্পেশাল সাজেশন ৬২তম পর্ব-দ্বিতীয় অংশ

বিসিএস ও প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার গণিতের স্পেশাল সাজেশন

গণিত এর সকল সমস্যার সমাধান করার সহজ উপায়-৬২তম পর্ব-দ্বিতীয় অংশ

(গণিতে আর ফেল নয়-১০০% পাশ)

চাকরি পরীক্ষায় দেখা যায় শতকরা ৯৫% শিক্ষার্থী গণিতে ফেল করে। বিশেষ করে মেয়েরা। তাই যারা গণিত আর ইংরেজি বিষয় নিয়ে মহাটেনশনে আছেন তাদের জন্য এই পর্বগুলো দেয়া হলো। পরীক্ষায় নিজের মেধায় চাকরি পেতে চাইলে আমার সকল পর্বগুলো দেখতে থাকুন।

BANGLADESH ONLINE UNIVERSITY এর পক্ষ থেকে সকলকে জানাই আন্তরিক শুভেচ্ছা-

Md.Izabul Alam-M.A, C.in.Ed. Online Principal, (Return 3 times BCS VIVA) Ex-Principal, Rangpur Modern Pre-Cadet and Kindergarten, Ex-Executive Director, RHASEDO NGO, Ex-Headmaster, Velakopa Govt. Primary School, Palashbari, Gaibandha, Ex-Instructor, Mathematics, URC, Palashbari, Gaibandha, Ex- Sub Inspector (Detective/Intelligence-DGFI), Ex-Executive & In Charge (Recruitment & Training School-Securex), Senior Executive-(Recruitment & Training School-HRD).

Bangladesh Online University ( যা সকল বিষয়ের সাধারণ জ্ঞানের তথ্য ভান্ডার)  একটি সেবামূলক Online ভিত্তিক ফ্রি শিক্ষা প্রতিষ্ঠান, যা সকলের জন্য উন্মুক্ত। তাই উপকৃত হলে দোয়া করতে ভুলবেন না।

Md.Izabul Alam, Online Principal, Gulshan- Dhaka, Bangladesh.
01716508708, izabulalam@gmail.com

গণিত

১। ১ মিটারে কত ইঞ্চি? [ ১১, ২৫ তম বিসিএস, নন ক্যাডার জব-০৫, ০৬, ১১, ১২, ১৫] 
উত্তরঃ ৩৯.৩৭ ইঞ্চি। 
২। কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত? [৩৩তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৭, ’০৮, ’১০, ’১২, ’১৩, ‘১৪] 
উত্তরঃ ৩৬০⁰ 
৩। একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ ? [২০তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৮, ’১০, ’১১, ’১২, ’১২, ’১৩]
উত্তরঃ ৪ গুণ। 
৪। বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? [৩২, ২৭ তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’১৪, ’১৪, ’১৫, ‘১৫] 
উত্তরঃ ৯ গুণ। 
৫। একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ ? [২১তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-০৩, ’০৭, ’১০, ’১১, ’১১, ’১৩, ’১৩, ‘১৪] 
উত্তরঃ ১৬ গুণ। 
৬। ত্রিভুজের দু’টি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের ত্রিভুজ হবে? [পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৩, ’১১, ’১২, ’১৩, ’১৩, ‘১৩] 
উত্তরঃ সমকোণী। 
৭। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কী ? [১৪তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৩, ’০৭, ’১২, ’১২, ’১৩, ‘১৪] 
উত্তরঃ ভূমি ×উচ্চতা। 
৮। বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কত হবে? [পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৪, ’০৬, ’০৯, ’১৩, ’১৩, ’১৩, ১৩, ’১৪, ’১৪, ‘১৪] 
উত্তরঃ ২২/৭ 
৯। ১ কুইন্টালে কত কেজি হবে? [১৪তম বিসিএস,[পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৫, ’০৭, ’০৯, ‘১১]
উত্তরঃ ১০০ কেজি। 
১০। ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত? [১৮ তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৬, ‘১২] 
উত্তরঃ ৫০৫০। 
১১। সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে উহার অতিভুজ কত হবে ? [১৪তম বিসিএস , [পিএসসি নন ক্যাডার জব-’০৬, ‘ ০৯, ’১১, ‘১৩] 
উত্তরঃ ৫ সেন্টিমিটার। 
১২। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি a হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে? [১৪তম বিসিএস, পিএসসি নন ক্যাডার জব-’১০, ’১১, ’১৪, ‘১৪] 
উত্তরঃ (√3)/4 a² 
১৩। চিনির মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়াতে কোনো একটি পরিবার চিনি খাওয়া এমনভাবে কমালো যে, চিনি বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পেল না। ঐ পরিবার চিনি খাওয়ার খরচ শতকরা কত কমিয়েছিলো? [১০, ১২, ২৩, ৩৬ তম বিসিএস] 
উত্তরঃ ২০% 
১৪। a+b+c = 0 হলে, aᶾ+bᶾ+cᶾ এর মান কত? [১০ ম বিসিএস, নন ক্যাডার জব- ১৬, ১৫, ১৪, ১২] 
উত্তরঃ 3abc 
১৫। টাকায় ৩টি করে আম ক্রয় করে, টাকায় ২ টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? [১০,২৬, ৩২ তম বিসিএস] 
উত্তরঃ ৫০%

১৬। সূত্র:--

১ ইঞ্চ = ২.৫৪ সেন্টিমিটার
১ ফুট = ০.৩০৫ মিটার
১গজ = ০.৯১৪ মিটার
১ মাইল = ১.৬০৯ কিলোমিটার
১ নটিক্যাল মাইল = ১.৮৫২ কিলোমিটার
১ সেন্টিমিটার = ০.৩৯ ইঞ্চ
১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চ = ৩.২৮ ফুট = ১.০৯৪ গজ
১ কিলোমিটার = ০.৬২ মাইল
১ ইঞ্চ (ইঞ্চ) = ১/৩৬ গজ = ১/১২ ফুট
১ ফুট (ফুট) = ১/৩ গজ
১ রড (রড) = ৫ ১/২ গজ
১ ফারলং (ফার) = ২২০ গজ = ১/৮ মাইল
১ মাইল (মাইল) = ১,৭৬০ গজ = ৫,২৮০ ফুট
১ নটিক্যাল মাইল = ৬,০৭৬.১ ফুট
১ মিলিমিটার (মিমি) = ১/১,০০০ মিটার
১ সেন্টিমিটার (সেমি) = ১/১০০ মিটার
১ ডেসিমিটার (ডেসি) = ১/১০ মিটার
১ ডেকামিটার (ডেকা) = ১০ মিটার
১ কিলোমিটার (কিমি) = ১০০০ মিটার

১৭। গণিতের সহজ টেকনিক

শতকরা

সূত্রঃ- ১

মূল্য বৃদ্ধি পাওয়া ব্যবহার কমানোর ক্ষেত্রে –
ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০ X মূল্য বৃদ্ধির হার) / (১০০ + মূল্য বৃদ্ধির হার)
উদাহারণঃ
১) যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ খরব বৃদ্ধি পাবে না।

সূত্রানুসারে শর্টকাট টেকনিকঃ

ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০X ২৫) /(১০০ +২৫)
= ২০%
২) চিনির মূল্য ২০% বৃদ্ধি পয়ায়াতে কোন এক পরিবারের চিনি খাওয়া কেমন কমালে চিনি বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না?

শর্টকাট টেকনিকঃ

ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০X ২০) /(১০০+২০)
= ১৬.৬৭%
সূত্রঃ- ২

মূল্য হ্রাস পাওয়া ব্যবহার বাড়ানোর ক্ষেত্রে – ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০ X মূল্য হ্রাসের হার) / (১০০ - মূল্য বৃদ্ধির
হার)
উদাহারণঃ
১) কাপড়ের মূল্য ২০% কমে গেল। কোন ব্যক্তির খরচ বৃদ্ধি না করেও কাপড়ের ব্যবহার শতকরা কত বৃদ্ধি করতে পারে?

সূত্রানুসারে শর্টকাট টেকনিকঃ

ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০X ২০) / (১০০-২৫)
= ২৫%
২) চালের মূল্য ২৫% কমে গেল। একই খরচে চাল কেনা শতকরা কি পরিমাণে বৃদ্ধি পাবে?

শর্টকাট টেকনিকঃ

ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০X ২৫) /(১০০-২৫)
= ৩৩.৩৩%
সূত্রঃ ৩
দুটি সংখ্যার শতকরা হারের তুলনার ক্ষেত্রে – শতকরা কম / বেশি = (১০০ X শতকরা কম বা বেশি) / (১০০ + শতকরা কম বা বেশি)
উদাহারণঃ
১) ক এর বেতন খ এর বেতন অপেক্ষা ৩৫ টাকা বেশি হলে খ এর বেতন ক অপেক্ষা কত টাকা কম? শতকরা কম বা বেশি = (১০০ X ৩৫) /(১০০ + ৩৫)
= ২৫.৯৩%
২) রুমির আয় দীপুর আয় অপেক্ষা ২৫% বেশি। দীপুর আয় রুমি অপেক্ষা শতকরা কত কম?
শতকরা কম বা বেশি = (১০০X ২৫) / (১০০ + ২৫)
= ২০%
সূত্রঃ ৪
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার বৃদ্ধি পাওয়া – দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (বৃদ্ধির প্রাপ্ত মূল্যে হার X মোট মূল্য) / (১০০ + যে
পরিমাণ পণ্য কম হয়েছে)
উদাহারাণঃ
১) চিনির মূল্য ৬% বেড়ে যাওয়ায় ১০৬০ টাকায় পূর্বে যত কেজি চিনি কেনা যেত এখন তার চেয়ে ৩ কেজি চিনি কম কেনা যায়! চিনির বর্তমান দর কেজি প্রতি কত?
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (৬ X ১০৬০) / (১০০ X ৩)
= ২১.২০ টাকা
সূত্রঃ ৫
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার হ্রাস পাওয়া – দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (হ্রাসকৃত মূল্যেহার X মোট মূল্য) / (১০০ + যে পরিমাণ পণ্য বেশি হয়েছে)
উদাহারাণঃ
১) চালের মূল্য ১২% কমে যাওয়ায় ৬,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায়। ১ কুইন্টাল চালের দাম কত?
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (১২ X ৬০০০) / (১০০ X ১)
= ৭২০ টাকা
সূত্রঃ ৬
মূল্য বা ব্যবহার হ্রাস-বৃদ্ধির ক্ষেত্রে –
হ্রাসের হার = (বৃদ্ধির হার X হ্রাসের হার) / ১০০
উদাহারাণঃ
১) চিনির মূল্য ২০% কমলো কিন্তু চিনির ব্যবহার ২০% বেড়ে গেল এতে চিনি বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়বে বা কমবে?
হ্রাসের হার = (২০ X ২০) / ১০০
= ৪%
সূত্রঃ ৭
পূর্ব মূল্য এবং বর্তমান মূল্য অনুপাতে দেওয়া থাকলে মূল্যের স্তকরা হ্রাস বের করতে হলে – শতকরা মূল্য হ্রাস = (অনুপাতের বিয়োগফল X ১০০) / অনুপাতের প্রথম সংখ্যা
উদাহারাণঃ
১) মাসুদের আয় ও ব্যয় এর অনুপাত
২০:১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?
শতকরা মূল্য হার = (২০-১৫) X ১০০ / ২০
= ২৫%

১৮। সজ্ঞা
১। প্রশ্ন : অংক কাকে বলে? উত্তর : সংখ্যা গঠনের জন্য যেসব প্রতীক ব্যবহৃত হয় তাকে অংক বলে। যেমন : ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ০।
২। প্রশ্ন : অংক কত প্রকার ও কি কি? উত্তর : অংক দুই প্রকার। যথা : স্বার্থক অংক (১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯) ও সহকারি অংক (০)
৩। প্রশ্ন : প্রক্রিয়া প্রতীক কয়টি ও কি কি? উত্তর : প্রক্রিয়া প্রতীক ৪টি। যথা : +(যোগ), -(বিয়োগ), x(গুণ), ÷(ভাগ)।
৪। প্রশ্ন : যোগ কাকে বলে? উত্তর : দুই বা তার বেশি সমান বা অসমান সংখাকে একত্র করে একটি সংখ্যায় পরিণত করাকে যোগ বলে।
৫। প্রশ্ন : বিয়োগ কাকে বলে? উত্তর : দুটি সংখ্যার মধ্যে বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যা বাদ দেয়ার নাম বিয়োগ।
৬। প্রশ্ন : গুণ কাকে বলে? উত্তর : দ্রুত ও সংক্ষেপে যোগ করার পদ্ধতিকে গুণ বলে।
৭। প্রশ্ন : ভাগ কাকে বলে? উত্তর : বিয়োগের সংক্ষিপ্ত রুপকে ভাগ বলে.....
৮। প্রশ্নঃ সংখ্যা কাকে বলে? উত্তরঃ সংখ্যা হচ্ছে পরিমাপের একটি বিমূর্ত ধারনা।
৯। একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?— ৬ সমকোণ
১০। একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি— ৭২০ ডিগ্রি
১১। বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়— ৯গুন
১২। কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে— অন্ত:কেন্দ্র
১৩। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ––৯০ ডিগ্রী
১৪। তিন কোণ দেওয়া থাকলে যে সকল ত্রিভুজ আঁকা যায় তাদের বলে— সদৃশ ত্রিভুজ
১৫। ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি–দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম
১৬। কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলি সমান হলে , ত্রিভুজটি— সমদ্বিবাহু
১৭। ২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে ?— প্রবৃদ্ধ কোণ
১৮। একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দু,টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি–১৮০ ডিগ্রি
১৯। একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?— ৬ সমকোণ
২০। একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি— ৭২০ ডিগ্রি
২১। বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়— ৯গুন
২২। কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে— অন্ত:কেন্দ্র
২৩। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ––৯০ ডিগ্রী
২৪। জ্যা’ শব্দের অর্থ কি?=ভূমি
২৫। দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?=সম্পূরক কোণ
২৬। একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে=দুই সমকোণ(১৮০°)
২৭। দুটি পূরক কোণের সমষ্টি কত?=৯০°
২৮। সম্পূরক কোণের মান কত?=১৮০°
২৯। কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি— ৩৬০ ডিগ্রী
৩০। সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩,৪ সেমি হলে, অতিভুজের মান কত?— ৫ সে.মি
৩১। সামন্তরিকের বিপরীত কোণেরঅর্ন্তদ্বিখন্ডকদ্বয়–পরস্পর সমান্তরাল
৩২। একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে , বর্গক্ষেত্র দু.টির কর্ণের অনুপাত কত?–৪:১
৩৩। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিকন্ডিত করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ— ৯০ ডিগ্রী
বৃত্ত সম্পর্কিত তথ্য
৩৪। পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কে বলা হয়?=পরিধি

৩৫।  বৃত্তের পরিধির সূত্র=2πr
৩৬। পরিধির যেকোন অংশকে বলা হয়=চাপ
৩৭। পরিধির যেকোন দুই বিন্দুর সংযোগ সরলরেখাকে বলা হয়=জ্যা( বৃত্তের ব্যাস হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা)
৩৮। বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা-ই=ব্যাস
৩৯।  কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা হয়=ব্যাসার্ধ
বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু ধারণাঃ
৪০। একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোন বৃত্ত আকা যায়না।
৪১। দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।
৪২। একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।
৪৩। বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।
৪৪। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
৪৫। বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
৪৬। বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।
৪৭। বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
৪৮। বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
৪৯। কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।
৫০। অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।
বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:
৫১। বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =πr² ( যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
৫২। গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =4πr²
৫৩। গোলকের আয়তন =4÷3(πr³)
৫৪। সর্বপ্রথম সেট তত্ত্বের ধারণা দেন =জর্জ ক্যান্টর
৫৫।  ভেনচিত্র কে আবিষ্কার করেন =জনভেন
৫৬। একক সেটের উপাদান সংখ্যা =১টি
৫৭।  সেটকে প্রকাশ করার কয়টি পদ্ধতি আছে =২টি
৫৮।  : ” দ্বারা কি বোঝায় =যেন
গণিতের Father:
১. সংখ্যাতত্ত্ব—- পিথাগোরাস
২. জ্যামিতি——ইউক্লিড
৩. ক্যালকুলাস —– নিউটন
৪. ম্যাট্রিক্স ——– কেইসে
৫. ত্রিকোণমিতি—— হিপ্পারচাস
৬. পাটিগণিত—— আর্যভট্র
৭. বীজগণিত ——- মুসা আল খারিজমী
৮. লগারিদম——জন নেপিয়ার
৯. সেটতত্ত্ব——–জর্জ ক্যান্টর
১০. আলগরিদম——-ব্রহ্মগুপ্ত

১. শূন্যে আবিষ্কারক ——ব্রহ্মগুপ্ত ও আর্যভট্র

১৯। কাজ ও শ্রমিক সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানের সহজ নিয়ম:

নিয়ম-১:

ক, খ এবং গ একটি কাজ যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিক = abc / (ab + bc + ca)
= (১২ x ১৫ x ২০)/ (১২x১৫ + ১৫x২০ + ২০x১২)= ৫ দিনে (উঃ)

নিয়ম-২:

৯ জন লোক যদি একটি কাজ ৩ দিনে করে তবে কতজন লোক কাজটি ৯ দিনে করবে?
টেকনিক : M1D1 = M2D2
বা, ৯ x ৩ = M2 x ৯
বা, M2×৯=২৭
M2=২৭/৯
সুতরাং, M2 = ৩ দিনে(উঃ)

নিয়ম-৩:

৩ জন পুরুষ বা ৪ জন মহিলা একটি কাজ ২৩ দিনে করতে পারে l ঐ কাজটি শেষ করতে ২ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলার প্রয়োজন হবে দিন সময় লাগবে?
টেকনিকঃ T = (M1 x W1 x T1) ÷ (M1W2 + M2W1)
= (৩x৪x২৩)÷(৩x৫ + ৪x২)
= ১২ দিন (উঃ)

নিয়ম-৪:

যদি নুসরাত একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং মায়াম্মি ঐ কাজ ১৫ দিনে করে তবে নুসরাত এবং মায়াম্মি একসাথে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ G = FS÷(F+S)
= (১০ x ১৫)÷(১০+১৫)
= ৬ দিনে(উঃ)

নিয়ম-৫:

যদি ক একটি কাজ ১০ দিনে করে এবং ক ও খ একসাথে কাজটি ৬ দিনে করে তবে খ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?
টেকনিকঃ G = FS÷(F-S)
= (১০ x ৬)÷(১০-৬)
= ১৫ দিনে (উঃ)

২০। এই সমস্যাগুলো প্রায়ই পরীক্ষায় এসে থাকে:

১. প্রশ্ন : কোনো স্কুলে ৭০% শিক্ষার্থী ইংরেজি এবং ৮০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাস করেছে। কিন্তু ১০% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ৩০০ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ স্কুলে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে? উত্তর : ৫০০ জন।
২. প্রশ্ন : ৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A এর ১৭ ভাগ, B এর ৩ ভাগ এবং C এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে B কতটুকু আছে? উত্তর : ৯ কেজি।
৩. প্রশ্ন : একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টায় ৫ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড়বেগ কত? উত্তর : ১(২/৩)।
৪. প্রশ্ন : কোন সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে তৃতীয় সংখ্যাটি কত? উত্তর : ২৯।
৫. প্রশ্ন : M সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং N সংখ্যার সংখ্যক গড় B, সবগুলো সংখ্যার গড় কত? উত্তর : (AM + BN)/(M+N)।
৬. প্রশ্ন : যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে, তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না? উত্তর : ২০%।
৭. প্রশ্ন : এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ১২০০ টাকায় কিনে ১৫% লাভে বিক্রয় করল; ক্রেতা ঐ দ্রব্য তৃতীয় এক ব্যক্তির কাছে ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করল। শেষ বিক্রয়মূল্য কত ছিল? উত্তর : ১৩১১।
৮. প্রশ্ন : চালের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি চালের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার বাৎসরিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি চালের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন? উত্তর : ২০%।
৯. প্রশ্ন : কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত? উত্তর : ১১৩/৩৫৫।
১০. প্রশ্ন : এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পর অবশিষ্ট ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে, তার নিকট ১০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত? উত্তর : ৩০০০।
১১. প্রশ্ন : একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৫, ৬, ৭ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? উত্তর : ১৫।
১২. প্রশ্ন : একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে উহার পরিসীমা কত? উত্তর : ৮০ মিটার।
১৩. প্রশ্ন : একটি 48 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30 কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল?  উত্তর : 16।
১৪. প্রশ্ন : একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে এর পরিসীমা কত? উত্তর : 96 মিটার। 
১৫. প্রশ্ন : ৬% হারে নয় মাসে ১০,০০০/- টাকার উপর সুদ কত হবে? উত্তর : ৪৫০ টাকা।
১৬. প্রশ্ন : যদি ১৫টি পোশাকের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ পোশাক শার্ট হয়, তবে ১৫টি পোশাকের মধ্যে কতটি শার্ট নয়? উত্তর : ৯টি। 
১৭. প্রশ্ন : ৬০ মিটার বিশিষ্ট একটি রশিকে ৩:৭:১০ অনুপাতে ভাগ করলে টুকরোগুলোর সাইজ কত?উত্তর : ৯:২১:৩০।
১৮. প্রশ্ন : ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪,............এর পরবর্তী সংখ্যাটি কত?উত্তর : ২২৫।
১৯. প্রশ্ন : একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩∶১, এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪∶১ হবে? উত্তর : ৪ গ্রাম।
২০. প্রশ্ন : একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রি করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত? উত্তর : ৫%।

২১। বিভিন্ন পরিক্ষায় আসা গণিতের কিছু কনফিউজিং প্রশ্ন ও তার সমাধানঃ ব্যাখ্যাসহ-

1. 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 70. এদের মধ্যে 60 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 75 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত? (বিসিএস ৩৫তম)
ব্যাখ্যা:- 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 70 ,তাহলে 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে
মোট নম্বর 100 *70=7000
আবার,
60 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 75 হলে 60 জন ছাত্রীর মোট
নম্বর 60 * 75=4500
40 জন ছাত্রের মোট নম্বর = (7000-4500)=2500 গড় =
2500/40 =62.5
Ans: 62.5
2. ক ও খ এর গড় আয় ৫০৫ টাকা, খ ও গ এর গড় আয় ৫৩৫ টাকা এবং ক ও গ এর গড় আয় ৫২০ টাকা। ক,খ ও গ এর প্রত্যেকের আয় কত?
A ক এর আয় ৪৬০ টাকা, খ এর আয় ৬২০ টাকা, গ এর আয়
ব্যাখ্যা: এখানে ,ক+খ = ২x৫০৫ ,খ+গ= ২x ৫৩৫ ,ক+গ = ২X৫২০
বা, (ক+খ)+(খ+গ)+(গ+ক)= ২(৫০৫+৫৩৫+৫২০)[যেহেতু এরা গড় ]
বা, ২(ক+খ+গ)=২x১৫৬০
বা,ক+খ+গ =১৫৬০ টাকা
বা , ক+(২x ৫৩৫) =১৫৬০ টাকা
বা , ক = ১৫৬০-১০৭০ =৪৯০ টাকা
তাহলে , খ পায় = ৫২০ টাকা
এবং গ পায় = ৫৫০ টাকা
3. চারটি সংখ্যা M,2M+3, 3M-5 এবং 5M+1 এর গড় 63। M এর মান কত?
ব্যাখ্যাঃ- চারটি সংখ্যার সমষ্টি = 4 X 63 = 252
শর্ত মতে ,
M+2M+3+3M-5+5M+1 = 252
=>M+2M+3M+5M-1 = 252
=>11M-1 = 252
=>11M = 253
সুতরাং , M = 23
4. একটি সংখ্যা ৪৭০ থেকে যত বড় ৭২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যাঃ- উভয়ের ব্যাবধান ২৫০। ২৫০ এর অর্ধেক ১২৫. তাহলে ৪৭০+১২৫=৫৯৫
আবার, ৭২০-১২৫=৫৯৫
অথবা, একটি সংখ্যা ৪৭০ অন্যটি ৭২০। দুটি সংখ্যার সমষ্টি (৭২০+৪৭০)=১১৯০
এখন, ১১৯০÷২=৫৯৫।
5. ২ টি সংখ্যার যোগফল ৪৮ এবং তাদের গুনফল ৪৩২। তবে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যাঃ- মনে করি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে a ও b
শর্তমতে,
a+b=48________(i)
ab=432________(ii)
(ii) হতে পাই,
b=432/a________(iii)
(iii) হতে b এর মান (i) তে বসিয়ে পাই,
a+b=48
বা, 432/a+a=48
বা, (432+a2)/a=48
বা, 432+a2=48a
বা, a2-48a+432=0
বা, a2-36a-12a+432=0
বা, a(a-36)-12(a-36)=0
বা, (a-12)(a-36)=0
∴ a=12,36
এখন,
a=12 হলে, b=432/12=36
a=36 হলে, b=432/36=12
∴ বড় সংখ্যাটি 36
6. .০৩×.০০৬×.০০৭ = ?
(বিসিএস ৩৫তম; ; )
ব্যাখ্যাঃ- দশমিকের পরে ২টি, ৩ টি এবং ৩টি অংক আছে প্রতিটি অংশে । গুণফলে দশমিকের পরে মোট (২+৩+৩) = ৮টি অংক থাকবে।
so, Ans is : .০০০০০১২৬
7. বেতন ৩০% বৃদ্ধি পাওয়ায় একজন লোক ১১০৫০ টাকা পায়। পূর্বে তার বেতন কত ছিল?
ব্যাখ্যাঃ- ৩০% বৃদ্ধিতে, বর্তমান বেতন = ১৩০ টাকা বর্তমানে বেতন ১৩০ টাকা হলে পূর্ব বেতন = ১০০
টাকা বর্তমান বেতন ১১০৫০ টাকা হলে পূর্ব বেতন = (১০০×১১০৫০)/১৩০
=৮৫০০ টাকা
Ans: ৮৫০০ টাকা
8. ২০ কেজি পরিমাণ একটি স্পিরিট ও পানির মিশ্রণে পানির পরিমাণ ১০%.ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ
পানি মিশ্রিত করলে পানির পরিমাণ হবে ২৫%?
ব্যাখ্যাঃ-১০% পানি এর অর্থ , ১০০ কেজি তে পানি আছে ১০ কেজি ২০ কেজি তে পানি আছে (১০X ২০)/১০০ কে জি =২ কেজি
আবার , ২৫ % পানি হলে ,
১০০ কেজি তে পানি আছে ২৫ কেজি
২০ কেজিতে পানি আছে = (২৫ X ২০)/১০০ = ৫ কেজি
তাহলে , পানি মিস্রিত করতে হবে = (৫-২) কেজি = ৩
কেজি
উত্তরঃ ৩ কেজি ।
9. একখানা গাড়ির মূল্য ১৫০০ টাকা ও একটা ঘোড়ার মূল্য ২০০০ টাকা। যদি গাড়ির মূল্য শতকরা ৫ টাকা ও ঘোড়ার মূল্য শতকরা ৮ টাকা বৃদ্ধি পায়, তবে গাড়ি ও ঘোড়ার মূল্য একত্রে কত হবে?
ব্যাখ্যাঃ- ৫% বৃদ্ধিতে , গাড়ির বর্তমান মূল্য = ১৫০০ + (১৫০০ এর ৫/১০০) টাকা
=১৫৭৫ টাকা
৮% বৃদ্ধিতে , ঘোড়ার বর্তমান মূল্য = ২০০০+ (২০০০ এর ৮/১০০) টাকা
= ২১৬০ টাকা
একত্রে মূল্য = (২১৬০ +১৫৭৫) টাকা = ৩৭৩৫ টাকা
উত্তরঃ ৩৭৩৫ টাকা

10) পিতা পুত্রের চেয়ে ৩২ বছরের বড়। ৭ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ২ গুণ অপেক্ষা ৫ বছর বেশি হবে। ৩ বছর পর পিতার বয়স কত হবে?
.
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স= ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর।
৭ বছর পর পুত্রের বয়স= (ক+৭) বছর।
৭ বছর পর পিতার বয়স= (ক+৩২)+৭ বছর= (ক+৩২+৭) বছর= (ক+৩৯) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক+৩৯= ২(ক+৭)+৫
বা, ক+৩৯= ২ক+১৪+৫
বা, ক-২ক= ১৯-৩৯
বা, -ক= -২০
বা, ক= ২০
ক = ২০
পিতার বর্তমান বয়স= (ক+৩২) বছর=(২০+৩২) বছর= ৫২ বছর।
৩ বছর পর পিতার বয়স=(৫২+৩) বছর= ৫৫ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫৫ বছর।

11) দুই বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ। দুই বছর বাদে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে বাবা ও তার পুত্রে বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পুত্রের বয়স= ক বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর।
প্রশ্নমতে,
১৪ (ক-২) = ক + ২৬ -২
বা, ১৪ক – ২৮ = ক + ২৪
বা, ১৪ক – ক = ২৪ + ২৮
বা, ১৩ক = ৫২
বা, ক = ৫২÷১৩
বা, ক = ৪
ক = ৪
পুত্রের বয়স= ক বছর= ৪ বছর।
বাবার বয়স= (ক + ২৬) বছর= (৪ + ২৬) বছর= ৩০ বছর।
নির্ণেয় বাবার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত= ৩০ : ৪ = ১৫ : ২
উত্তর: বাবার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৫ : ২
12) পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর; যখন পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে ১০২ বছর। পিতার ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= খ বছর।
যখন পুত্রের বয়স ক হবে তখন পিতার বয়স হবে= {ক+(ক-খ)} বছর।
১ম শর্তমতে,
ক+খ=৫০……………………(১)
২য় শর্তমতে,
ক + {ক+ (ক-খ)} = ১০২
বা, ক+ক+ক-খ= ১০২
বা, ৩ক-খ= ১০২
৩ক-খ= ১০২………………….(২)
(১) নং ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই-
ক + খ = ৫০
৩ক –খ = ১০২
_______________________________
৪ক = ১৫২
বা, ক= ১৫২÷৪
ক= ৩৮
(১) নং সমীকরণে ক এর মান বসিয়ে পাই-
ক+খ= ৫০
বা, ৩৮+খ= ৫০
বা, খ= ৫০-৩৮
বা, খ= ১২
খ = ১২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৩৮ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= খ বছর= ১২ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৩৮ বছর ও পুত্রের বয়স ১২ বছর।
13) পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৭×৩) বছর= ১১১ বছর।
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৫×২) বছর= ৭০ বছর।
নির্ণেয় মাতার বয়স= (১১১-৭০) বছর= ৪১ বছর।
উত্তর: মাতার বয়স ৪১ বছর।
14) পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২০ বছর হলে পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২৭×৩) বছর= ৮১ বছর।
দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (২০×২) বছর= ৪০ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৮১-৪০) বছর= ৪১ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪১ বছর।
15) পিতা ও দুই পুত্রের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩০×৩) বছর= ৯০ বছর।
দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (২০×২) বছর= ৪০ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৯০-৪০) বছর= ৫০ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৫০ বছর।
16) পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স কত?
সমাধানঃ
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৩৬×৩) বছর= ১০৮ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৪৫×২) বছর= ৯০ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (১০৮-৯০) বছর= ১৮ বছর।
উত্তর: পুত্রের বয়স ১৮ বছর।
17) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি। পিতা ও মাতার গড় বয়স কত?
সমাধানঃ
মাতার বয়স যেহেতু পুত্রের বয়স অপেক্ষা ২০ বছর বেশি।
সুতারাং পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি= (৬০+২০) বছর= ৮০ বছর।
পিতা ও মাতার বয়সের গড়= = = ৪০ বছর।
নির্নেয় পিতা ও মাতার গড় বয়স= ৪০ বছর।
উত্তর: পিতা ও মাতার গড় বয়স ৪০ বছর।
18) পাঁচ সন্তানের বয়সের গড় ৭ বছর এবং পিতাসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ সন্তানের বয়সের সমষ্টি= (৭×৫) বছর= ৩৫ বছর।
পিতাসহ পাঁচ সন্তান বা ৬ জনের বয়সের সমষ্টি= (১৩×৬) বছর= ৭৮ বছর।
নির্ণেয় পিতার বয়স= (৭৮-৩৫)=৪৩ বছর।

উত্তর: পিতার বয়স ৪৩ বছর।
19) ৫ জন বালকের বয়সের গড় ১০ বছর। ঐ গলে আরও দুজন বালক যোগ দিলে তাদের সকলের বয়সের গড় হয় ১২ বছর। যোগদানকারী বালক দুটি যদি সমবয়সী হয় তবে তাদের প্রত্যেকের বয়স কত?
সমাধানঃ
৫ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১০×৫) বছর= ৫০ বছর।
(৫+২) বা ৭ জন বালকের বয়সের সমষ্টি= (১২×৭) বছর= ৮৪ বছর।
যোগদানকারী বালকের বয়সের সমষ্টি= (৮৪-৫০) বছর= ৩৪ বছর।
যোগদানকারী প্রত্যেক বালকের বয়স= বছর= ১৭ বছর।
উত্তর: প্রত্যেক বালকের বয়স ১৭ বছর।
20) পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স একত্রে ৮০ বছর। ৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৫ গুণ ছিল। তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত কত?
সমাধানঃ
৪ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= ক বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর।
৪ বছর পূর্বে পিতার বয়স= ৫ক বছর।
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক+৪)+(৫ক+৪)=৮০
বা, ক+৪+৫ক+৪=৮০
বা, ৬ক+৮=৮০
বা, ৬ক= ৮০-৮
বা, ৬ক= ৭২
বা, ক= ৭২÷৬
বা, ক= ১২
ক= ১২
পিতার বর্তমান বয়স= (৫ক+৪) বছর=(৫×১২+৪)বছর=(৬০+৪) বছর= ৬৪ বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স= (ক+৪) বছর= (১২+৪) বছর= ১৬ বছর।
নির্ণেয় তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত= ৬৪ : ১৬
উত্তর: তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৬৪ : ১৬
21) পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পুত্রের বয়স ১৬ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
প্রশ্নমতে,
ক : ১৬ = ১১ : ৪
বা, ক × ৪ = ১৬ × ১১
বা, ৪ক = ১৭৬
বা, ক = ১৭৬÷৪
বা, ক = ৪৪
ক = ৪৪
নির্ণেয় পিতার বয়স= ৪৪ বছর।
উত্তর: পিতার বয়স ৪৪ বছর।
22) পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১: ৪। পিতার বয়স ৪৪ বছর হলে, পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ১১ক বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর।
প্রশ্নমতে,
১১ক = ৪৪
বা, ক = ৪৪÷১১
বা, ক = ৪
ক = ৪
পিতার বয়স= ১১ক বছর= (১১×৪) বছর= ৪৪ বছর।
পুত্রের বয়স= ৪ক বছর= (৪×৪) বছর= ১৬ বছর।
নির্ণেয় পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি= (৪৪+১৬) বছর= ৬০ বছর।
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর।
23) পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭: ২। পিতার বর্তমান বয়স ৪২ বছর, ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স কত ছিল?

সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৪২×২
বা, ৭(পুত্রের বর্তমান বয়স) =৮৪
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স = ৮৪÷৭
বা, পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২
পুত্রের বর্তমান বয়স= ১২ বছর।
নির্ণেয় ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১২–১০) বছর= ২ বছর।
উত্তর: ১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল ২ বছর।
24) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬৩ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ৭: ২। ৯ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিল?
সমাধানঃ
অনুপাতদ্বয়ের সমষ্টি= (৭+২) = ৯
পিতার বয়স= (৬৩ এর ৭/৯ ) = ৪৯ বছর।
পুত্রের বয়স= (৬৩ এর ২/৯) = ১৪ বছর।
৯ বছর পূর্বে পিতার বয়স= (৪৯ -৯) বছর= ৪০ বছর।
৯ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স= (১৪ -৯) বছর= ৫ বছর।
৯ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত= ৪০ : ৫= ৮ : ১
উত্তর: পিতার ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৮ : ১
25) পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭৪ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিল ৭: ২। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতার বয়স= ক বছর।
পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল= (ক-১০) বছর।
১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল= (৭৪-ক-১০) বছর।
প্রশ্নমতে,
(ক-১০) : (৭৪-ক-১০) = ৭ : ২
বা, ২(ক-১০) = ৭ ( ৬৪-ক)
বা, ২ক-২০ = ৪৪৮-৭ক
বা, ২ক+৭ক = ৪৪৮+২০
বা, ৯ক = ৪৬৮
বা, ক = ৪৬৮÷৯
বা, ক = ৫২
ক = ৫২
নির্ণেয় পিতার বয়স= ক বছর= ৫২ বছর।
নির্ণেয় পুত্রের বয়স= (৭৪-ক) বছর= (৭৪-৫২) বছর= ২২ বছর।
১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত= (৫২+১০) : (২২+১০)= ৬২ : ৩২ = ৩১ : ১৬
উত্তর: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩১ : ১৬

সমাপ্ত-৬২তম পর্বের তৃতীয় অংশ দেখুন

বিঃদ্রঃ নিজের অর্থ,সময় ও শ্রম ব্যয় করে আপনাদের উপকার করে যাচ্ছি। পারলে আমার একটু উপকার করুন- এই ব্লগের উপরে ও নীচে কিছু এ্যাড আছে। আপনি শুধু এই এ্যাডে একবার ক্লিক করুন। এতে আপনার অর্থ ও সময় ব্যয় হবে না। ফ্রি ফ্রি অন্যের জিনিস নিয়ে নিজে উপকৃত হবেন আর অন্যের উপকার করবেন না- সেটাতো স্বার্থপরতার লক্ষণ।

Md. Izabul Alam-Online Principal

izabulalam@gmail.com

01716508708, Gulshan, Dhaka, Bangladesh